Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
(b) , onde é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem da hora aqui: . A missão é conferir se a solução proposta realmente resolve essa equação. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias e dar uma olhada em derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer. A ideia é substituir a solução proposta na equação diferencial e ver se ela satisfaz a igualdade. Se sim, então a solução está correta!

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de . A nossa solução é . Vamos separar isso em duas partes para facilitar:

Passo 4

Calculando a derivada de :
Vamos aplicar a regra do quociente:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, calculando a derivada de :

Passo 6

Somando as derivadas:

Passo 7

Agora, vamos substituir e na equação diferencial original:
Simplificando:
Os termos com se cancelam:

Resposta

Viu só? Depois de substituir e simplificar, a equação fica , que é verdadeira. Então, a solução proposta realmente resolve a equação diferencial dada.

Exercícios relacionados

Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
(a) , onde é uma constante.
Qual é a ordem das seguintes equações ?
(b)
Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
© , onde são constantes.
Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
^0 e .
Note que, embora nada na equação dada proíba de assumir valor nulo, a solução do PVI apresentado só é válida para (por que excluímos o conjunto ?). Dizemos então que o intervalo de validade dessa solução é .