Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
(b) x'(t) + x(t)/t = exp(t) (com t != 0), x(t) = ((t-1) exp(t))/t + c/t, onde c é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem da hora aqui: . A missão é conferir se a solução proposta realmente resolve essa equação. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias e dar uma olhada em derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer. A ideia é substituir a solução proposta na equação diferencial e ver se ela satisfaz a igualdade. Se sim, então a solução está correta!

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de . A nossa solução é . Vamos separar isso em duas partes para facilitar:

Passo 4

Calculando a derivada de :
Vamos aplicar a regra do quociente:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, calculando a derivada de :

Passo 6

Somando as derivadas:

Passo 7

Agora, vamos substituir e na equação diferencial original:
Simplificando:
Os termos com se cancelam:

Resposta

Viu só? Depois de substituir e simplificar, a equação fica , que é verdadeira. Então, a solução proposta realmente resolve a equação diferencial dada.

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