Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
(b)
, onde
é uma constante.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem da hora aqui:
. A missão é conferir se a solução proposta
realmente resolve essa equação. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias e dar uma olhada em derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer. A ideia é substituir a solução proposta na equação diferencial e ver se ela satisfaz a igualdade. Se sim, então a solução está correta!
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de
. A nossa solução é
. Vamos separar isso em duas partes para facilitar:
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Vamos aplicar a regra do quociente:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, calculando a derivada de
:
Passo 6
Somando as derivadas:
Passo 7
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial original:
Simplificando:
Os termos com
se cancelam:
Resposta
Viu só? Depois de substituir e simplificar, a equação fica
, que é verdadeira. Então, a solução proposta realmente resolve a equação diferencial dada.