Verifique se as seguintes funções de onda são de fato autofunções da equação de Schrödinger e determine seus autovalores de energia. psi(x)=e^i k x, em que V=V, uma energia potencial constante, e k é uma constante

Passo 1

Então, a gente vai verificar se a função de onda psi(x) = e^i k x é uma autofunção da equação de Schrödinger quando a energia potencial V é constante. Basicamente, queremos saber se essa função realmente satisfaz a equação e qual é o seu autovalor de energia. Para isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger independente do tempo e aplicar algumas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 + V psi(x) = E psi(x)
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, V é a energia potencial constante, E é o autovalor de energia, e psi(x) é a função de onda.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a segunda derivada de psi(x) = e^i k x em relação a x. Vamos lá:
d psi(x)dx = i k e^i k x d^2 psi(x)dx^2 = (i k)^2 e^i k x = -k^2 e^i k x

Passo 4

Substituindo a segunda derivada e a função de onda na equação de Schrödinger:
-hbar^22m (-k^2 e^i k x) + V e^i k x = E e^i k x
Simplificando:
hbar^2 k^22m e^i k x + V e^i k x = E e^i k x

Passo 5

Como e^i k x é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por ele:
hbar^2 k^22m + V = E
Isso nos dá o autovalor de energia E.

Resposta

Sim, psi(x) = e^i k x é uma autofunção da equação de Schrödinger com energia potencial constante V, e o seu autovalor de energia é:
E = hbar^2 k^22m + V

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