You are given the random vector X^prime=[X1, X2, X3, X4] with mean vector mux^prime=[4,3,2,1] e variance-covariance matrix
Partition X as
SigmaX=[rrrr 3 & 0 & 2 & 2 0 & 1 & 1 & 0 2 & 1 & 9 & -2 2 & 0 & -2 & 4 ]
X=[c X1 X2 hdashline X3 X4 ]=[l X^(1) hdashline X^(2) ]
Let
A=[ll 1 & 2 ] e B=[ll 1 & -2 2 & -1 ]
e considere as combinações lineares A X^(1) e B X^(2). Find
(i) Cov(X^(1), X^(2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu um exercício sobre vetores aleatórios e matrizes de covariância. Basicamente, temos um vetor aleatório X dividido em duas partes: X^(1) = [X1, X2] e X^(2) = [X3, X4]. A gente precisa encontrar a covariância entre essas duas partes, ou seja, Cov(X^(1), X^(2)). Para isso, vamos usar a matriz de variância-covariância que você forneceu.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de covariância completa SigmaX nos dá todas as covariâncias entre os componentes do vetor X. Ela está organizada de forma que as primeiras duas linhas e colunas correspondem a X^(1) e as últimas duas a X^(2). Então, para encontrar Cov(X^(1), X^(2)), precisamos olhar apenas para as covariâncias entre os elementos de X^(1) e X^(2).

Passo 3

Vamos extrair as informações relevantes da matriz SigmaX:
SigmaX = 3 & 0 & 2 & 2 0 & 1 & 1 & 0 2 & 1 & 9 & -2 2 & 0 & -2 & 4
Aqui, a parte superior esquerda é a covariância dentro de X^(1), a inferior direita é a covariância dentro de X^(2), e as outras partes são as covariâncias entre X^(1) e X^(2).

Passo 4

Agora, vamos identificar as covariâncias específicas que precisamos:
  • Cov(X1, X3) = 2
  • Cov(X1, X4) = 2
  • Cov(X2, X3) = 1
  • Cov(X2, X4) = 0
Esses valores estão diretamente na matriz de covariância fornecida.

Passo 5

Com essas covariâncias em mãos, podemos montar a matriz Cov(X^(1), X^(2)) da seguinte forma:
Cov(X^(1), X^(2)) = Cov(X1, X3) & Cov(X1, X4) Cov(X2, X3) & Cov(X2, X4) = 2 & 2 1 & 0

Resposta

A covariância entre X^(1) e X^(2) é:
Cov(X^(1), X^(2)) = 2 & 2 1 & 0

Exercícios relacionados