You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu um exercício sobre vetores aleatórios e matrizes de covariância. Basicamente, temos um vetor aleatório dividido em duas partes: e . A gente precisa encontrar a covariância entre essas duas partes, ou seja, . Para isso, vamos usar a matriz de variância-covariância que você forneceu.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de covariância completa nos dá todas as covariâncias entre os componentes do vetor . Ela está organizada de forma que as primeiras duas linhas e colunas correspondem a e as últimas duas a . Então, para encontrar , precisamos olhar apenas para as covariâncias entre os elementos de e .
Passo 3
Vamos extrair as informações relevantes da matriz :
Aqui, a parte superior esquerda é a covariância dentro de , a inferior direita é a covariância dentro de , e as outras partes são as covariâncias entre e .
Passo 4
Agora, vamos identificar as covariâncias específicas que precisamos:
Esses valores estão diretamente na matriz de covariância fornecida.
Passo 5
Com essas covariâncias em mãos, podemos montar a matriz da seguinte forma: