e considere as combinações lineares A X^(1) e B X^(2). Find
(i) Cov(X^(1), X^(2))
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu um exercício sobre vetores aleatórios e matrizes de covariância. Basicamente, temos um vetor aleatório X dividido em duas partes: X^(1) = [X1, X2] e X^(2) = [X3, X4]. A gente precisa encontrar a covariância entre essas duas partes, ou seja, Cov(X^(1), X^(2)). Para isso, vamos usar a matriz de variância-covariância que você forneceu.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de covariância completa SigmaX nos dá todas as covariâncias entre os componentes do vetor X. Ela está organizada de forma que as primeiras duas linhas e colunas correspondem a X^(1) e as últimas duas a X^(2). Então, para encontrar Cov(X^(1), X^(2)), precisamos olhar apenas para as covariâncias entre os elementos de X^(1) e X^(2).
Passo 3
Vamos extrair as informações relevantes da matriz SigmaX:
Aqui, a parte superior esquerda é a covariância dentro de X^(1), a inferior direita é a covariância dentro de X^(2), e as outras partes são as covariâncias entre X^(1) e X^(2).
Passo 4
Agora, vamos identificar as covariâncias específicas que precisamos:
Cov(X1, X3) = 2
Cov(X1, X4) = 2
Cov(X2, X3) = 1
Cov(X2, X4) = 0
Esses valores estão diretamente na matriz de covariância fornecida.
Passo 5
Com essas covariâncias em mãos, podemos montar a matriz Cov(X^(1), X^(2)) da seguinte forma: