Equação da Aleta

Se o diâmetro do bastão fosse triplicado, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

Quando o problema nos diz que o bastão é longo, isso quer dizer que podemos considerar o Caso D da nossa teoria, ou seja, de uma aleta infinita.

Se olharmos na tabela, veremos que, pra esse caso, a taxa de transferência de calor é dada por:

Como estamos trabalhando com uma aleta cilíndrica, teremos:

Logo:

Como estamos preocupados apenas com o que acontece quando mudamos o diâmetro (ou seja, as outras variáveis permanecem constantes), podemos ver pela equação acima que a taxa de transferência de calor é proporcional a :

Agora que encontramos a relação entre a taxa de transferência de calor, podemos analisar o que acontece com a mesma se triplicarmos o diâmetro:

Se um bastão de cobre com o mesmo diâmetro fosse usado em lugar do bastão de alumínio, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

Olhando novamente para a equação da taxa de transferência de calor:

Vemos que, nesse caso, a mesma será proporcional , logo, ao mudarmos o material:

a) Pra gente determinar a distribuição de temperatura na aleta, a gente pode usar as equações que estão na tabela! A situação ilustrada pelo enunciado refere-se ao caso , pois o enunciado diz que a barra é longa.

Então, se a gente admitir que a barra tem comprimento infinito, sua superfície mais extrema terá a mesma temperatura que o fluido () e a equação do perfil de temperatura nessa situação será:

Ou seja:

A distribuição de temperatura é exatamente a expressão que descreve a temperatura ao longo de , então isolando o termo , a gente fica com:

Em que:

O termo é referente ao perímetro superfície mais extrema, ou seja, o perímetro da circunferência de diâmetro e o termo se refere à área dessa superfície!

Dessa maneira:

Logo:

Dessa maneira, a distribuição de temperatura na barra é dada por:

b) A gente pode obter a taxa de calor diretamente pela tabela também:

Substituindo os valores do enunciado:

c) Admitindo que a barra é muito longa, a temperatura da extremidade terá a mesma temperatura que o fluido, então ali não haverá perda de calor (não existe gradiente de temperatura).

E, se você der uma olhada na nossa tabela de fórmulas, você vai ver que existe uma expressão para a condição de superfície adiabática.

Nessa condição, a taxa de calor é dada por:

“Mas, se a superfície é adiabática, como que tem troca de calor?”. A extremidade é adiabática, mas o restante da superfície troca energia com o ambiente!

Como a gente quer que a taxa de calor no caso adiabático seja igual à taxa no caso de aleta de comprimento infinito, a gente poderia simplesmente igualar as expressões de cada um:

Essa equação só é satisfeita para tendendo ao infinito! Isso não é possível fisicamente! Então, o que a gente pode fazer é assumir que se a taxa chegar a do valor, isso já será suficiente! Bora ver no que dá então:

Essa equação é satisfeita para:

Como já calculamos o na letra a), a gente tem que:

Pronto! Esse é o comprimento da barra que a gente já pode considera-la infinita! Então, o comprimento pode ser maior ou igual a .

Observamos que haverá troca de calor, por condução, no interior da aleta e, por convecção, nas superfícies dos componentes e da aleta.

Devido à simetria do problema, a gente pode resolver só um dos lados e afirmar que acontece o mesmo do lado oposto. Com isso, dizemos que as duas metades não trocam calor entre si e vamos usar as equações do caso B de aleta adiabática na extremidade:

Essa estratégia é a mesma que fazemos com uma parede plana de condições de contorno simétricas.

Pelo balanço de energia na superfície de controle:

Então, a gente tem uma taxa de energia que entra (proveniente da geração de calor) e parte dessa energia sai pela aleta () e parte sai pela superfície lisa ():

Tudo que está entrando de energia nessa superfície () vem da geração volumétrica na parede. Então, a gente pode fazer um balanço de energia na parede pra expressar essa taxa de entrada ():

Em termos dos dados geométricos que temos, o volume pode ser reescrito:

Substituindo no balanço de superfície, a gente fica com:

Agora a gente precisa achar uma expressão para a taxa de calor que sai pela superfície plana () e a taxa de calor que sai pela aleta ()!

Bora determinar primeiro o mais fácil: a taxa de calor pela superfície lisa ()! Isso é simplesmente uma convecção sobre uma superfície, então a gente calcula pela lei de resfriamento de Newton:

Nesse caso a temperatura da superfície é a mesma da base () e a área de troca térmica da parede lisa será:

Substituindo os valores da aleta:

Logo:

Agora, a gente precisa calcular a taxa de calor da aleta!

A aleta em questão se enquadra no caso , então a taxa de calor perdida por ela pode ser escrita como:

Em que:

Bora calcular cada um deles então!

A área já foi calculada antes e o perímetro é dado por:

Logo:

E ainda:

Substituindo na expressão da taxa de calor da aleta:

Substituindo as expressões do calor trocado pela superfície plana () e pela aleta () no balanço de energia na superfície:

Isolando a temperatura da base ():

De acordo com o enunciado, a extremidade está sob convecção, o que corresponde ao Caso A da nossa tabela, logo:

Onde:

Substituindo os valores:

Agora basta testar com os valores que o problema pediu.

A ideia aqui é a seguinte:

Como estamos tratando os dois bastões de cobre como longos, ambos correspondem ao Caso D da nossa tabela.

Assim, a taxa de transferência de calor necessária para manter a extremidade de cada bastão à temperatura de vai ser dada por:

Assim, como precisamos manter as das duas extremidades das duas à mesma temperatura, a quantidade mínima de potência necessária será:

Dados:

Substituindo os valores:

Qual é a taxa de transferência de calor por convecção entre um único bastão de cobre e o ar?

Vamos começar fazendo um balanço de energia nesse cara, a ideia é essa:

Opa! O problema está me falando que a temperatura na extremidade da barra é constante! Isso corresponde ao Caso C da tabela na Teoria!

Logo:

Show de bola, vamos trabalhar nessa equação!

Nessa equação, como :

Daí, podemos simplificar a equação:

Onde:

Logo:

Agora é arrumar a bagunça:

Multiplicando em cima e embaixo por :

Finalmente:

Agora que encontramos como a temperatura varia ao longo de , podemos calcular a taxa de transferência de calor por condução em função de :

No início e no final do bastão, a taxa de transferência de calor será:

Voltando para a expressão a taxa de transferência de calor por condução:

Sendo :

Pra não embolar, vamos calcular cada coisa separadamente, ok?

Logo:

Qual é a taxa total de transferência de calor dissipada de uma seção da superfície a com dimensões de por , se for instalado um feixe de bastões com distância entre os centros de ?

Estando os bastões distantes de entre seus centros, a quantidade de bastões que cabe em será:

Assim, no total, teremos:

Dessa forma, a taxa total de transferência de calor será a soma da taxa de transferência por condução de cada bastão com a taxa de transferência por convecção da área não ocupada pelos bastões, logo:

Onde:

Logo: