Princípio de Stevin e Manômetros

Para resolver essa questão temos que usar o que aprendemos em vasos comunicantes.

Que a pressão é a mesma em dois pontos no mesmo fluido na mesma altura.

Então nesse problema podemos usar dois pontos para calcular a altura .

Os pontos são os em vermelhos ou os em azuis:

Utilizando um desses pares de pontos conseguimos achar a resposta, como sou flamenguista vamos escolher o vermelho.

Vimos que como eles estão na mesma altura () e no mesmo liquido eles estão submetidos a mesma pressão.

Que pressão é essa? É a pressão da coluna de liquido acima dos dois. No caso do ponto a esquerda é a coluna de óleo, coluna essa que mede . Já o ponto na direita sofre a pressão da coluna de de água.

Para resolver basta igualar as pressões

Vamos cortar aceleração da gravidade. E se liga não importa a unidade da altura, desde que usemos a mesma nos dois lados. O mesmo vale para a densidade. Então como usamos em , acharemos a resposta em cm.

A densidade do óleo é e da água é . Sendo assim temos tudo para resolver o problema.

Isolando a altura, temos:

Uma questão de vasos comunicantes, porém agora temos um vaso inclinado.

Nada mudou, vamos continuar pegando dois pontos de mesma altura no mesmo fluido e falando que a pressão neles deve ser igual.

Os pontos escolhidos vão ser:

Já temos os pontos. O que muda nesse estilo de vaso é que não temos as alturas. Vamos ter que descobrir todas as alturas para podermos resolver o problema.

Lembre que na pressão o que importa é a distância vertical. Pois quando igualarmos as pressões vamos obter a equação do lado esquerdo:

E do lado do lado direito:

Então para resolvermos o problema temos que encontrar a altura , alturas essas que correspondem a:

Para descobrir essas alturas, vamos ter que usar algumas relações trigonométricas.

Vamos usar o fato de que seno de um ângulo é igual a razão entre o lado oposto ao ângulo e a hipotenusa

Mas que ângulo é esse? Bem, a imagem nos forneceu que o ângulo entre um dos lados do vaso e a vertical é . Como a vertical faz com a horizontal, o vaso faz com a horizontal.

Então conseguimos descobrir a altura , assim:

Usando a relação do seno, temos

Com o auxilio de uma calculadora temos:

Observação:

Então você também pode calcular como:

Agora só falta descobrir e para isso faremos o mesmo:

Utilizando da imagem dada pelo enunciado conseguimos descobrir o comprimento de água acima do ponto analisado, e tendo este valor descobrir a altura:

Agora que temos as alturas, faltam apenas as densidades. A da tem que lembrar que é e a do ar vamos ter que pesquisar em um livro ou na internet.

A massa especifica do ar é aproximadamente:

Assim, podemos resolver a questão. Igualando as duas equações mostradas lá em cima temos:

Lembre-se de usar as unidades correta, por isso transformamos e

Resolvendo a equação temos:

Novamente precisamos escolher dois pontos no mesmo fluido e na mesma altura para podermos igualar as pressões.

O ponto escolhido será:

No ponto a esquerda temos a pressão em e a pressão devido à coluna de água.

Já no ponto a direita será a pressão atmosférica e a pressão devido à coluna de mercúrio.

Agora podemos igualar as pressões e obter uma única equação com uma única incógnita

Atenção! A densidade do mercúrio foi dada sem unidade, o que significa que ela foi dada em relação à da água.

sendo a da água .

Vamos substituir os valores que temos então:

Dica: Lembre-se que quando te derem a densidade sem unidade foi porque a densidade foi dada em .

Agora queremos calcular a diferença de pressão. Mas o sistema para fazer isso é o mesmo: escolher dois pontos no mesmo fluido e na mesma altura para igualar as pressões

Os pontos escolhidos são:

No ponto a esquerda a pressão é dada pela pressão e a coluna de água.

A altura é a dada pelo enunciado , mas e parte para cima? A gente chamos de Ela engana, o desenho está muito desproporcional, aquele pedacinho para cima é muito pequeno.

No ponto a direita a mesma coisa sofrerá a pressão e a pressão da coluna de tetracloreto.

A mesma coisa acontece, vamos apenas considerar a altura de tetracloreto e a parte de água acima é considerada um .

Agora podemos igualar as pressões:

Como queremos a diferença de pressão , vamos isolar o que queremos:

Pela tabela pegamos as densidades da água e do tetracloreto de carbono.

Essa é uma questão típica de manômetros. Vamos primeiro encontrar a pressão em .

Para isso precisamos escolher dois pontos no mesmo fluido para igualar as pressões: Os pontos escolhidos nesse primeiro caso serão:

Assim a pressão no ponto já foi dada

E a pressão no ponto da direita será dada pela pressão no ponto mais a coluna de água.

Repara que temos que conhecer a densidade da água.

O enunciado nos disse que estamos a , e nessa temperatura temos:

E a nossa altura será

Agora igualando as pressões temos

Agora, vamos descobrir a pressão no ponto , vamos pegar um ponto no mesmo liquido e altura que o ponto D. Vamos escolher o ponto abaixo do ponto .

Vamos considerar que esses pontos estão no fundo do recipiente, como os pontos estão na água e na mesma altura, eles tem a mesma pressão. Sendo assim se descobrirmos a pressão no ponto vermelho descobrimos a pressão no ponto .

A pressão no ponto vermelho é a pressão em , mas a pressão de coluna de água. Sendo assim:

Agora que sabemos a pressão em . Conseguimos descobrir a pressão em .

Pois a pressão em é a pressão em , mais a coluna de ar, mais a coluna de água.

Sendo assim temos:

Agora precisamos da densidade do ar. Estando a , teremos:

Isolando , temos:

Uma questão típica de manômetros. Já resolvemos muitas questões usando o método de escolher dois pontos no mesmo fluido e mesma altura para podermos igualar as pressões.

Bem, essa é uma questão que resolver por este método daria muito trabalho, teríamos que pegar vários pontos, ir igualando as pressões.

Por isso, nessa vamos utilizar o método de montar apenas uma equação de pressão para todo o sistema.

Como vimos na teoria, vamos começar de um lado e assumir que tudo que está para baixo é positivo e tudo que percorrermos subindo será negativo e no final tudo isso será igual a pressão no outro extremo.

Mas, para utilizarmos esse método temos que ter todas as distâncias mapeadas. Então faremos isso primeiro. Sabemos as alturas: , porém não sabemos o valor de .

Bem, não tem como descobrirmos mesmo, mas as outras duas medidas conseguimos descobrir. Bem, é a diferença entre e , assim:

E é:

Beleza, agora que já descobrimos as alturas. Vamos começar a montar a equação de pressão.

Iremos começar do lado esquerdo partindo de . E iremos percorrer o manômetro. As colunas de fluido que percorremos descendo serão positiva e as que percorrermos subindo serão negativas. Borá-la? Selecionei de laranja todos os pedaços que entraram na nossa equação:

Assim, a equação fica da seguinte forma:

Vamos juntar tudo que tem e faremos o mesmo para tudo que tem

Ufaaaaa, aquele que não tínhamos ideia de quanto ia valer sumiu o/.

Beleza, agora podemos isolar o termo que tem

Agora, encontramos o valor da densidade do fluido .

Vishh, agora temos um manômetro com 4 fluidos diferentes, o que muda? Nada!

Vamos resolver do mesmo jeito. Escolher um lado e começar a percorrer a partir desse lado, escrevendo a equação de pressão.

Mas antes vamos ver se temos todas as medidas:

Bem, não sabemos os valores de e , mas assim como no exercício anterior quando não sabíamos o valor de , vamos escrever a equação de pressão, pois como teremos uma coluna de liquido e , subindo e descendo ela irá se anular.

Então, vamos lá! Começando do lado esquerdo temos a pressão e não podemos esquecer que colunas de líquido descendo são positivas e coluna de líquido subindo são negativas. Além disso vamos usar a pressão relativa. Assim a da água vale e devemos usar a medida de altura em milímetro.

Queremos a diferença de pressão entre o lado direito e esquerdo, assim, vamos isolar essa diferença e para simplificar vamos juntar os termos que são iguais:

Substituindo o valor da aceleração da gravidade por , conseguimos chegar no valor exato da diferença de pressão;

Como deu negativo, sabemos que a pressão da esquerda é maior que a da direita, assim:

Acho essa questão super louca, a primeira vista ela parece impossível. Mas no fundo é tranquila e muito legal.

Então vamos começar a resolver ela.

Primeiro, o enunciado nos forneceu que o manômetro mediu . O que isso significa?

Lembra que o manômetro mede diferença de pressão, pois bem como ele está entre a região e , ele mediu a diferença de pressão entre as duas regiões, assim:

Bem, vamos começar fazendo a equação de pressão da região para a região .

Olha as regiões selecionadas de vermelho:

Começando pela região , vamos montar a equação de pressão:

Assim:

Agora, vamos olhar as pressões nos pistões, analisando assim as regiões e .

Mas temos um problema nessa parte, não podemos montar um sistema de pressões, pois temos áreas diferentes e como vimos na teoria a equação foi montada a partir do equilíbrio de forças. Então devemos montar o equilíbrio de forças, lembrando que:

As forças atuantes são: força causada pela pressão , Força causada pela pressão , só que a pressão está dos dois lados, em um atuando em toda área e em outra apenas em .

Pela segunda lei de Newton, temos .

Assim, montando a equação de forças temos:

Beleza, agora temos duas equações, mas várias variáveis. Então vamos juntar todas as informações que temos:

Vamos começar por essa última equação:

Usando as relações de áreas temos que e , vamos substituir isso na equação acima.

Podemos agora dividir tudo por ,e chegamos na seguinte equação:

Agora, vamos recuperar aquela primeira equação que chegamos:

Vamos substituir :

Agora, vamos usar a relação que .

Isolando , temos: e substituindo esse valor na equação acima, temos:

Isolando , chegamos em:

Agora podemos substituir os valores de e , e assim encontrar o valor de

Agora que temos , conseguimos descobrir :

Porém essa pressão não é a absoluta. E sim a efetiva, pois não leva em consideração a pressão atmosférica.

A primeira coisa que devemos fazer é passar a pressão atmosférica para

A pressão correspondente por de é:

Agora podemos calcular a pressão absoluta:

Chegamos na parte final. Agora precisamos apenas passar de pascal para .

Para isso precisamos dividira pressão por

E pronto, longa né? Viu por que acho ela louca, mas bem legal, bora para a próxima!

Podemos entender essa questão como um manômetro típico que terminamos de fazer duas questões.

Ondem e são os extremos do manômetro. E queremos saber a diferença de pressão entre esses pontos.

Para isso iremos escrever a equação de pressão partindo de um lado e percorrendo o tubo até o outro lado.

Porém antes de escrevermos as equações precisamos descobrir quanto vale essa altura :

Para isso usaremos o ângulo dado pelo enunciado.

Agora que sabemos o valor dessa altura, podemos começar a montar a equação de pressão, vamos começar pelo ponto .

Chamamos de a coluna de mercúrio do lado esquerdo, não nos importamos muito com esse valor, pois ele será cancelado com a coluna de mercúrio do outro lado igual, sobrando apenas uma coluna de mercúrio de altura .

Isolando a diferença, temos:

Substituindo por , chegamos na equação para a diferença de pressão:

Bem, agora vamos substituir os valores de e .

As unidades estão em sistemas diferentes. Vamos passar todas para o Sistema Internacional:

0

Assim, temos que e . Além disso, vamos usar a densidade da água como e do mercúrio .

Agora podemos calcular o valor da diferença de pressão: