Balanço Diferencial de Massa
Produzido por Raphael EloiTeoria
A gente viu no balanço integral de massa como que a gente pode fazer pra calcular, por exemplo, a concentração média de um sistema depois de um tempo . Mas e se agora a gente quiser saber essa mesma concentração, mas especificamente em um espacinho dentro do nosso volume de controle?
Bom, pra isso a gente precisa de um balanço diferencial, que vai avaliar as propriedade pra cada dx e dy hahaha.
Vamos ver como fazer isso?
Construindo o Balanço de Massa
Vamos começar olhando então o que seria um volume de controle diferencial:
Imagina que esse , e sejam beeeem pequenininhos.
Vamos analisar dx!
A taxa de fluido que passa por dx é o fluxo de massa em x, , vezes a área (porque taxa = fluxo x área, lembra?). Maaas, não necessariamente tudo que entra por esse sai desse ! Então, a gente diz que a taxa líquida vai ser:
Isso só em relação a x, essa mesma taxa pode ser calculada em relação à e .
Beleza, mas se o que entra for maior do que o que sai, eu vou ter alguma coisa e acumulando ali, certo? Certo!
No balanço integral a gente representou dessa forma:
Aqui no diferencial, a gente vai considerar o volume de controle constante, porque esse espacinho que estamos analisando não vai mudar. E além disso, como nosso volume de controle é muito pequeno, podemos considerar a concentração mássica constante também em todo o espaço. Dai nosso termo fica assim:
Beleza, agora a única coisa que falta a gente considerar, que nem a gente fez no balanço integral é quando está acontecendo alguma reação no nosso volume de controle.
Obs.: Esse sinal vai depender se A é reagente ou produto! Considerando A reagente, ele vai ser consumido ao longo do tempo, logo o sinal é negativo!
Vale lembrar que, assim como no balanço integral, as unidades de todos os termos ficam como massa por unidade de tempo.
Enfim o nosso balanço em relação à x:
Dividindo tudo pelo volume ():
Mas esse primeiro termo ai ainda dá pra mexer um pouco nele, fazendo o limite com tendendo a zero, a gente tem justamente a derivada de em relação a x!
Finalmente, pra você guardar no coração:
Lembrando que:
Outros jeitos de usar esse balanço
Bom, a gente acabou de ver o nosso balanço diferencial mássico, mas e se no problema os dados que eu tiver estiverem em função de molaridade?
Reescrevendo nosso balanço em termos molares:
O índice M é para indicar que as unidades estão em função de mol.
Se a gente lembrar também das correlações que vimos nos fundamentos da transferência de massa, esse balanço pode ter várias outras caras:
Sabendo também que
Se for constante:
E para um sistema binário?
Para um sistema binário nós podemos somar esse mesmo balanço para o componente A, com um similar para o componente B!
Em termos molares:
E em outras coordenadas?
Nem sempre a difusão vai estar acontecendo em coordenadas cartesianas x, y e z. Vamos ver como fica a expressão pra coordenadas cilíndricas e esféricas:
- Em coordenadas cilíndricas:
- Em coordenadas esféricas:
Caaaalma gafanhoto, agora a gente vai ver como que a gente pode simplificar isso ai:
Vamos pegar a versão completa
E fazer nossas hipóteses:
- Fluido incompressível () e com constante também:
- Sem reação química ():
- Sem escoamento, o fluido não está em movimento:
- Estado estacionário :
Essa simplificação vem lá do balanço global. E esse lado esquerdo todo da equação é o que a gente chama de derivada material. Dai a expressão fica com essa cara:
Essa expressão se assemelha àquela de transcal . É o que a gente chama de 2ª lei de Fick da difusão.
Essa é a equação da difusão transiente que a gente vai ver mais pra frente!
Sem reação:
Sem escoamento:
Esse último chamamos de difusão pura.
Ufa, acabou! Agora bora praticar!