Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 42
42 – Usando os resultados mostrados na Tabela 11.3, determine uma expressão para a razão de efetividades de um trocador de calor com escoamento em contracorrente para um com escoamento em paralelo. Considerando o mesmo trocador usado, para qualquer padrão de escoamento, qual é o valor limite da razão de efetividade para uma área de troca térmica extremamente pequena (baixo custo)? Qual é o valor limite da razão de efetividades para uma área infinitamente grande (alto custo)? Plote a razão de efetividades sobre uma faixa de 0 ≤ NTU ≤ 10 para Cr = 0,25; 0,5; e 0,75. Sob quais condições (alto ou baixo custo) o padrão de escoamento em contracorrente é mais significativamente superior que o padrão de escoamento em paralelo?
Passo 1
Vamos começar então pegando as eq’s da Tabela 11.3.
Para escoamento em paralelo:
Para escoamento em contracorrente:
Passo 2
A razão de efetividades será então
Podemos rearranjar para:
Essa então é a expressão para a razão de efetividades de um trocador em contracorrente com m trocador em paralelo.
Passo 3
Vamos agora responder as perguntas associadas as áreas pequenas e grandes de um trocador de calor.
Primeiramente, vamos pegar a equação que define o parâmetro NTU, cuja expressão é:
Para uma área de troca térmica extremamente pequena, ou seja, para uma área tendendo a zero, temos que, como NTU é diretamente proporcional a área de troca térmica, então o valor de NTU também tenderá a zero para uma área de troca térmica extremamente pequena
Passo 4
Voltando na Eq.1 para analisarmos como vai ficar a razão de efetividades
Fazendo um NTU tendendo a zero, você pode perceber que teremos uma indeterminação do tipo 0/0, assim vamos ter que aplicar limite e a regra de L’Hôpital para tirarmos a indeterminação.
Aplicando limite para NTU tendendo a zero:
Teremos então com o limite
Assim, aplicando L’Hôpital na indeterminação:
Portanto, para uma área extremamente pequena, com A tendendo a zero e, consequentemente, NTU tendendo a zero vamos ter que:
Passo 5
Agora vamos para o outro caso.
Para uma área de troca térmica extremamente grande, ou seja, para uma área tendendo ao infinito, temos que, NTU também tenderá ao infinito para uma área de troca térmica extremamente grande
Voltando na Eq.1 para analisarmos como vai ficar a razão de efetividades
Fazendo um NTU tendendo ao infinito, vamos ter que as funções exponenciais da equação acima vão tender a zero, logo:
Aplicando limite para NTU tendendo ao infinito:
Teremos então com o limite
Passo 6
Vamos agora plotar a razão de efetividades para a faixa de valores estabelecidos:
Pelo EXCEL:
Para Cr = 0,25:
Para Cr = 0,5:
Para Cr = 0,75:
Passo 7
Para respondermos a última pergunta, vamos pegar as duas expressões para a razão de efetividades que encontramos
Para área extremamente pequena:
Para área extremamente grande:
Para você analisar qual é mais significativamente superior, você pode simplesmente analisar em comparação as duas equações acima avaliando os valores para Cr. Fazendo isso, você vai ver que para valores muito próximos de 1, a razão de efetividades para o caso de área muita pequena vai ter um valor muito grande, enquanto que para o caso de área muito grande, o valor máximo que se obtém é de 2.
Portanto, o padrão de escoamento em contracorrente é mais significativamente superior para o caso de área muito pequeno, isto é, custo baixo.
Você também pode analisar isso graficamente, atribuindo valores para o Cr
Você pode ver pelo gráfico acima que para o caso de área pequena, a razão tende ao infinito para Cr = 1, enquanto que para área grande o valor não passou de 2.
Resposta
Para área extremamente pequena:
Para área extremamente grande:
Para Cr = 0,25:
Para Cr = 0,5:
Para Cr = 0,75:
O padrão de escoamento em contracorrente é mais significativamente superior para o caso de área muito pequeno, isto é, custo baixo.