21 – A tabela abaixo inclui as quatro estrelas mais brilhantes visíveis da Terra. A temperatura da estrela, o raio da estrela (um raio solar é igual ao raio do Sol), e a distância entre a estrela e a Terra também é mostrada. Determine a ordem decrescente de brilho das estrelas, como observado por um astronauta em órbita sobre a Terra.

Passo 1

Para determinarmos o brilho de cada estrela, podemos calcular a potência de emissão e sua irradiação sobre a órbita da Terra.

Assim, o brilho da estrela que é visível a Terra será a soma entre a irradiação sobre a Terra e a potência de emissão da estrela.

Passo 2

Definindo matematicamente o brilho

B = E + G

Onde, vamos considerar as estrelas com corpos negros, assim

α = ε = 1

A potência emitida é dada pela seguinte expressão:

E = ε σ T s 4 A s = σ T s 4 A s

Onde,

σ = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4

E para a irradiação,

G = α G s A s = G s A s

Onde, As é a área superficial da estrela, sendo que a estrela é uma esfera, então a área será a área de uma esfera, cuja equação é:

A s = 4 π R s 2

Passo 3

O fluxo de irradiação, Gs, pode ser determinado relacionando com a radiação solar, qsolar, incidente sobre a Terra, com a seguinte expressão:

G s = σ T s 4 D s , E 2 D S o l 2

Onde, DSol é a distância entre o Sol e a Terra

D S o l = 1,5 x 10 11 m = 2 x 10 - 5   a n o s   l u z

Assim, para cada estrela temos que:

G s = σ T s 4 D S o l 2 D s , E 2

G = σ T s 4 D S o l 2 D s , E 2 A s

Passo 4

Assim, para o brilho de cada estrela temos que:

B = σ T s 4 A s + σ T s 4 D S o l 2 D s , E 2 A s

B = σ T s 4 4 π R s 2 + σ T s 4 D S o l 2 D s , E 2 4 π R s 2

B = σ T s 4 4 π R s 2 1 + D S o l 2 D s , E 2

Onde, o raio solar Rs possui um valor de:

R s = 6,96 x 10 8 m

Passo 5

Aplicando os valores para cada Estrela:

-Arcturus:

B = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 4286 K 4 4 π 25,4 ∙ 6,96 x 10 8 m 2 1 + 2 x 10 - 5 2 36,7 2

B = 4,25 x 10 18 W

-Canopus:

B = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 7350 K 4 4 π 71 , 4 ∙ 6,96 x 10 8 m 2 1 + 2 x 10 - 5 2 310 2

B = 1,03 x 10 20 W

-Sirius A:

B = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 9940 K 4 4 π 1,71 ∙ 6,96 x 10 8 m 2 1 + 2 x 10 - 5 2 8,6 2

B = 8,3 x 10 18 W

-Vega:

B = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 9602 K 4 4 π 2 , 5 0 ∙ 6,96 x 10 8 m 2 1 + 2 x 10 - 5 2 25,0 2

B = 1,1 x 10 19 W

Resposta

-Arcturus:

B = 4,25 x 10 18 W

-Canopus:

B = 1,03 x 10 20 W

-Sirius A:

B = 8,3 x 10 18 W

-Vega:

B = 1,1 x 10 19 W

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