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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 19

5.19 Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento incompressível?

(a) V r = - K / r ; V θ = 0

(b) V r = 0 ; V θ = K / r

(c) V r = - K cos ⁡ θ / r 2 ; V θ = - K   s e n   θ / r 2

Passo 1

Vamos começar usando a equação da continuidade para coordenadas cinlíndricas

1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ + ∂ ρ V z ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0  

Vamos considerar regime permanente e, com isso,

∂ ρ ∂ t = 0

Como só aparecem componentes m r e em θ , vamos admitir

∂ ρ V z ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ = 0

Multiplicando por r dos dois lados, ficamos com

∂ r ρ V r ∂ r + ∂ ρ V θ ∂ θ = 0

Se o escoamente é incompressívem, então o ρ é constante e pode sair da derivada

ρ ∂ r V r ∂ r + ∂ V θ ∂ θ = 0

Multiplicando por ρ dos dois lados

∂ r V r ∂ r + ∂ V θ ∂ θ = 0

Passo 2

(a) Vamos substituir V r = - K / r ; V θ = 0 na equação encontrada no final do passo 1

∂ r - K r ∂ r + ∂ ( 0 ) ∂ θ = 0

∂ - K ∂ r + ∂ ( 0 ) ∂ θ = 0

0 + 0 = 0

Como a identidade é válida, então o conjunto respresenta um possível caso de escoamento incompressível.

Passo 3

(b) Vamos substituir V r = 0 ; V θ = K / r   na equação encontrada no final do passo 1

∂ r ( 0 ) ∂ r + ∂ K r ∂ θ = 0

0 + 0 = 0

Como a identidade é válida, então o conjunto respresenta um possível caso de escoamento incompressível.

Passo 4

(b) Vamos substituir V r = - K cos ⁡ θ / r 2 ; V θ = - K   s e n   θ / r 2 na equação encontrada no final do passo 1

∂ r - K cos ⁡ θ / r 2   ∂ r + ∂ - K   s e n   θ / r 2 ∂ θ = 0

∂ - K cos ⁡ θ / r ∂ r + ∂ - K   s e n   θ / r 2 ∂ θ = 0

- - 1 K cos ⁡ θ r 2 - K cos ⁡ θ r 2 = 0

+ K cos ⁡ θ r 2 - K cos ⁡ θ r 2 = 0

0 = 0

Como a identidade é válida, então o conjunto respresenta um possível caso de escoamento incompressível.

Resposta

(a) Sim

(b) Sim

(c) Sim

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