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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 21

5.21 Para um escoamento incompressível no plano r θ , a componente r da velocidade é dada por V r = - Λ cos ⁡ θ / r 2 . Determine uma possível componente θ da velocidade. Quantas possíveis componentes θ existem?

Vamos começar usando a equação da continuidade para coordenadas cinlíndricas

1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ + ∂ ρ V z ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0  

Vamos considerar regime permanente e, com isso,

∂ ρ ∂ t = 0

Como é no plano r θ

∂ ρ V z ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ = 0

Multiplicando por r dos dois lados, ficamos com

∂ r ρ V r ∂ r + ∂ ρ V θ ∂ θ = 0

Se o escoamente é incompressívem, então o ρ é constante e pode sair da derivada

ρ ∂ r V r ∂ r + ∂ V θ ∂ θ = 0

Multiplicando por ρ dos dois lados

∂ r V r ∂ r + ∂ V θ ∂ θ = 0

Passo 1

(a) Substituindo V r = - Λ cos ⁡ θ / r 2

∂ r ( - Λ cos ⁡ θ / r 2 ) ∂ r + ∂ V θ ∂ θ = 0

∂ - Λ cos ⁡ θ / r ∂ r + ∂ V θ ∂ θ = 0

- ( - Λ cos ⁡ θ / r 2 ) + ∂ V θ ∂ θ = 0

Separando as variáveis e integrando

∂ V θ ∂ θ = - Λ cos ⁡ θ / r 2

d V θ = - Λ cos ⁡ θ / r 2   d θ

∫ d V θ = ∫ - Λ cos ⁡ θ / r 2 d θ

V θ = -   Λ   s e n   θ / r 2 + C

Onde C é constante em relação a θ .

Uma possível componente é quando a constante C é igual a zero

V θ = -   Λ   s e n θ r 2

(b) Existem infintas componentes possíveis (várias constantes diferentes).

Resposta

(a) V θ = -   Λ   s e n θ r 2

(b) Infinitas

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