Enunciado

A componente y da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente e incompressível, no plano x y , é v = A x y ( x 2 - y 2 ) , em que A = 3   m - 3 ⋅ s - 1 e x e   y são medidos em metros. Determine a mais simples componente x da velocidade para este campo de escamento.

Passo 1

Para representarem possíveis casos de escoamento bidimensional incompressíveis devem atender a seguinte versão equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 2

Temos que v = A x y ( x 2 - y 2 ) , então:

∂ u ∂ x + ∂ ∂ y ( A x 3 y - A x y 3 ) = 0

∂ u ∂ x = - ∂ ∂ y A x 3 y - A x y 3

Derivando:

∂ u ∂ x = - ( A x 3 - 3 A x y 2 )

Passo 3

Integrando:

d u = - ( A x 3 - 3 A x y 2 )   d x

∫ d u = - ∫ ( A x 3 - 3 A x y 2 ) d x

u x , y = - A x 4 4 + 3 A x 2 y 2 2 + f ( y )

Sendo A = 3   m - 3 ⋅ s - 1 :

u x , y = 9 x 2 y 2 2 - 3 x 4 4 + f ( y )

Essa equação básica é válida para fluxo constante e instável.

Existem infinitas soluções, pois f ( y ) pode ser qualquer função de y .

Sendo a mais simples f y = 0 :

u x , y = 9 x 2 y 2 2 - 3 x 4 4

Resposta

u x , y = 9 x 2 y 2 2 - 3 x 4 4

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