5.30 Um campo de escoamento incompressível, sem atrito, é especificado pela função de corrente ψ = - 5 A x - 2 A y , em que A = 2   m / s e x e y são coordenadas em metros.

(a) Esboce as linhas de corrente ψ = 0 e ψ = 5 e indique a direção do vetor velocidade no ponto (0,0) em um desenho esquemático.

(b) Determine o módulo da vazão volumétrica entre as linhas de corrente que passam pelos pontos (2,2) e (4,1).

Passo 1

(a) Para ψ = 0

0 = - 5 ( 2 ) x - 2 ( 2 ) y

0 = - 10 x - 4 y

y = - 5 2 x

Para ψ = 5

5 = - 5 ( 2 ) x - 2 ( 2 ) y

5 = - 10 x - 4 y

y = - 5 2 x - 5 4

Plotando

Usando a definição de função de corrente

V x = ∂ ψ ∂ y

V y = - ∂ ψ ∂ x

Como ψ = - 5 A x - 2 A y

V x = ∂ ( - 5 A x - 2 A y ) ∂ y = 0 - 2 A = - 4

V y = - ∂ - 5 A x - 2 A y ∂ x = 5 A - 0 = 10

Portanto

V → = - 4 i ^ + 10 j ^

Então a direção do vetor velocidade no ponto (0,0) é

V → = - 4 i ^ + 10 j ^

Passo 2

(b) No ponto (2,2), a função de corrente vale

ψ 2,2 = - 10 2 - 4 2

ψ 2,2 = - 28

No ponto (4,1), a função de corrente vale

ψ 4,1 = - 10 4 - 4 1

ψ 4,1 = - 44

O módulo da vazão volumétrica entre as duas linhas de corrente

Q =   ψ 4,1 - ψ 2,2

Q = - 44 + 28

Q = - 16

Q = 16  

Resposta

(b) Q = 16  

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