Sendo v x = 4 x - 6 y ; v y = k y - f ( x ) , determinar k e f(x) para que este seja um campo de velocidades de um escoamento irrotacional de um fluido incompressível. Determinar as funções de corrente e potencial

Passo 1

Vamos utilizar as restrições do escoamento para calcular os valores de k e f ( x ) .

Para que esse seja um escoamento irrotacional, deve respeitar a condição:

r o t   v → = ∂ v z ∂ y - ∂ v y ∂ z + ∂ v x ∂ z - ∂ v z ∂ x + ∂ v y ∂ x - ∂ v x ∂ y = 0

∂ v y ∂ x - ∂ v x ∂ y = 0

∂ ( k y - f x ) ∂ x - ∂ ( 4 x - 6 y ) ∂ y = 0

- f ' x + 6 = 0

f ' x = 6

Integrando:

f x = 6 x + C

Passo 2

Agora vamos nos aproveitar das restrições sobre a rotacionalidade para calcular o k . Sabemos que pra um escoamento ser irrotacional ele tem que respeitar a lei:

∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z = 0

∂ ( 4 x - 6 y ) ∂ x + ∂ ( k y - f x ) ∂ y = 0

4 + k = 0

E encontramos o valor de k

k = - 4

A equação é:

v y = - 4 y - 6 x + C

Passo 3

A função de corrente é dada pela equação 11.27

d Ψ = v x d y - v y d x

d Ψ = ( 4 x - 6 y ) d y - ( - 4 y - 6 x + C ) d x

Integrando parcialmente:

∫ d Ψ = ∫ ( 4 x - 6 y ) d y - ∫ ( - 4 y - 6 x + C ) d x

Ψ = 4 x y - 3 y 2 - - 4 y x - 3 x 2 + C x + C

Ψ = 3 x 2 + 8 x y - 3 y 2 - C x + C

A função potencial é dada pela equação 11.27

d ϕ = v x d x - v y d y

d ϕ = 4 x - 6 y d x + ( - 4 y - 6 x + C ) d y

Integrando:

∫ d ϕ = ∫ 4 x - 6 y d x + ∫ ( - 4 y - 6 x + C ) d y

ϕ = 2 x 2 - 6 y x - 2 y 2 - 6 x y + C y

ϕ = 2 x 2 - 12 y x - 2 y 2 + C y

Resposta

f x = 6 x + C

k = - 4

Ψ = 3 x 2 + 8 x y - 3 y 2 - C x + K 1

ϕ = 2 x 2 - 12 y x - 2 y 2 + C y + K 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados