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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 100

O campo de velocidade para um escoamento bidimensional é V → = A x - B y t i → - ( B x + A y ) j → , em que A = 1   s - 2 ,   B = 2   s - 2 ,   t é dado em segundos e as coordenadas são medidas em metros. Este é um possível escoamento incompressível? O escoamento é em regime permanente ou transiente? Mostre que o escoamento é irrotacional e deduza uma expressão para o potencial de velocidade.

Passo 1

Tá legal! Para que o escoamento seja incompressível, devemos ter:

∂ ∂ x u x , y - ∂ ∂ y v x , y = 0

Então, substituindo os valores de v e u , temos:

∂ ∂ x - A x - B y t - ∂ ∂ y - B x - A y t = 0 → - A t + A t = 0

Sendo assim, o escoamento é incompressível.

Passo 2

Uma vez que a velocidade V depende do tempo, então o escoamento é transiente.

Passo 3

Para o escoamnento ser irrotacional, devemos ter:

∂ ∂ x v - ∂ ∂ y u = 0

Substituindo os valores de v e u , temos:

∂ ∂ x - B x - A y t - ∂ ∂ y A x - B y t = 0 → - B t + B t = 0

Então o escoamento é de fato irrotacional.

Passo 4

Agora, para encontrar o potencial de velocidade, devemos fazer:

ϕ x , y = - ∫ u x , y d x = - ∫ A x - B y t d x → ϕ x , y = - A x 2 t 2 + B x y t + f ( y )

ϕ x , y = - ∫ v x , y d y = - ∫ - B x + A y t d y → ϕ x , y = B x y t + A y 2 t 2 + g ( x )

Dessa forma, comparando as duas funções, vemos que:

f y = A y 2 t 2 ;     g x = - A x 2 t 2

Então, a equação para o potencial de velocidade será:

ϕ = - A x 2 t 2 + A y 2 t 2 + B x y t

Resposta

i n c o m p r e s s í v e l

t r a n s i e n t e

i r r o t a c i o n a l

ϕ = - A x 2 t 2 + A y 2 t 2 + B x y t

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