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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 29

5.29 Considere um escoamento com as componentes da velocidade u = z ( 3 x 2 - z 2 ) , v = 0 e w = x ( x 2 - 3 z 2 ) .

(a) Este escoamente é uni, bi ou tridimensional?

(b) Demonstre se este é um escoamento incompressível ou compressível.

(c) Se possível, deduza uma função de corrente para este escoamento.

Passo 1

(a) Como v = 0 , u ≠ 0 e w ≠ 0 , então este escoamente é bidimensional.

Passo 2

(b) Vamos começar pela equação da continuidade

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Vamos considerar regime permanentel, logo

∂ ρ ∂ t = 0

Ficamos, então, com

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z = 0

Para escoamento incompressível, podemos tirar o ρ de dentro da derivada

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como é no plano x z , então

∂ v ∂ y = 0

Ficando, finalmente, com

∂ u ∂ x + ∂ w ∂ z = 0

Substituindo u = z ( 3 x 2 - z 2 ) e w = x ( x 2 - 3 z 2 )

∂ z 3 x 2 - z 2 ∂ x + ∂ x x 2 - 3 z 2 ∂ z = 0

∂ 3 x 2 z - z 3 ∂ x + ∂ x 3 - 3 x z 2 ∂ z = 0

6 x - 0 + 0 - 6 x = 0

0 = 0

Como satisfaz a equação, então é um escoamento incompressível.

Passo 3

Usando a defininção de função de corrente

u = ∂ ψ x , z ∂ z

Como u = z 3 x 2 - z 2

z 3 x 2 - z 2 = ∂ ψ x , z ∂ z

Separando as variáveis e integrando em relação a z

d ψ x , z = z 3 x 2 - z 2 d z

d ψ x , z = ( 3 x 2 z - z 3 ) d z

∫ d ψ x , z = ∫ ( 3 x 2 z - z 3 )   d z

ψ x , z = 3 x 2 z 2 2 - z 4 4 + C

Onde C é constante em relação a z , mas pode ser função de x , então vamos representar por f x

ψ x , z = 3 x 2 z 2 2 - z 4 4 + f x                     ( i )

Usando a definição de função de corrente

w ≡ - ∂ ψ ( x , z ) ∂ x

Como w = x ( x 2 - 3 z 2 )

x ( x 2 - 3 z 2 ) = - ∂ ψ x , z ∂ x

Separando as variáveis e integrando em relação a x

d ψ x , z = - x ( x 2 - 3 z 2 ) d x

d ψ x , z = 3 x z 2 - x 3 d x

∫ d ψ x , z = ∫ 3 x z 2 - x 3 d x

ψ x , z = 3 x 2 z 2 2 - x 4 4 + K

Onde K é constante em relação a x , mas pode ser função de y , então vamos representar por g y

ψ x , z = 3 x 2 z 2 2 - x 4 4 + g y                   ( i i )

Comparando i e i i , percebemos que

f x = - x 4 4

g z = - z 4 4

Portanto, a função de corrente

ψ x , z = 3 x 2 z 2 2 - x 4 4 - z 4 4

Resposta

(a) Bidimensional

(b) Incompressível

(c) ψ x , z = 3 x 2 z 2 2 - x 4 4 - z 4 4

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