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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 31

5.31 Um perfil de velocidade linear foi usado para modelar o escoamento em uma camada-limite laminar e imcompressível no Problemas 5.10. Deduza a função de corrente para este campo de escoamento. Localize as linhas de corrente a um quarto e a um meio da vazão volumétrica total na camada-limite.

Passo 1

A equação do perfil é u = U y / δ

Usando a definição de função de corrente

u = ∂ ψ ∂ y

U y δ = ∂ ψ ∂ y

Separando as variáveis e integrando em relação a y

d ψ = U y δ d y

∫ d ψ = U δ ∫ y   d y

ψ = U δ y 2 2 + C

Onde C é a constante em relação a y  

Como ψ = 0 em y = 0 , então C = 0 , e a função de corrente fica

ψ = U δ y 2 2

Passo 2

A linha de corrente tem valor máximo em y = δ

ψ m á x = U δ δ 2 2

ψ m á x = U δ 2

A vazão volumétrica total pode ser calculada como

Q t o t = ψ m á x - ψ m í n

Como ψ m í n = 0

Q t o t = U δ 2 - 0

Q t o t = U δ 2

Um quarto da vazão total

Q = Q t o t 4

Q = U δ 2 4

Q = U δ 8

Como Q t o t = ψ m á x - ψ m í n e ψ m í n = 0 , a linha de corrente que divide a vazão total em um quarto é

ψ = U δ 8

Igualando a função de corrente geral com a encontrada para um quarto da vazão

U δ y 2 2 = U δ 8

y 2 2 = δ 2 8

y 2 = δ 2 4

y = δ 2 4

y = δ 2

Metade da vazão total

Q = Q t o t 2

Q = U δ 2 2

Q = U δ 4

Como Q t o t = ψ m á x - ψ m í n e ψ m í n = 0 , a linha de corrente que divide a vazão total pela metade é

ψ = U δ 4

Igualando a função de corrente geral com a encontrada para metade da vazão

U δ y 2 2 = U δ 4

y 2 2 = δ 2 4

y 2 = δ 2 2

y = δ 2 2

y = δ 2

y = 2 2 δ

Resposta

ψ = U δ y 2 2

y = δ 2

y = 2 2 δ

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