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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 98

Considere um escoamento bidimensional: u = a x + b y e v = c x + d y , em que a ,   b ,   c e d são constantes. Se o escoamento for incompressível e irrotacional, encontre a relação entre a , b , c e d . Encontre a função corrente e a função potencial de velocidade deste escoamento.

Passo 1

Tá legal, como o enunciado nos disse que o escoamento é incompressível, então devemos ter:

∂ ∂ x u x , y + ∂ ∂ y v x , y = 0

Então, substituindo as funções, temos:

∂ ∂ x a x + b y + ∂ ∂ y c x + d y = 0 → a + d = 0 → a = - d

Agora, para o escoamento ser irrotacional, devemos ter:

∂ ∂ x v x , y - ∂ ∂ y u x , y = 0

Substituindo as funções, temos:

∂ ∂ x c x + d y - ∂ ∂ y a x + b y = 0 → c - b = 0 → c = b

Passo 2

Agora, para a função corrente, sabemos que, da condição de incompressibilidade, temos:

u = ∂ ∂ y ψ ;   v = - ∂ ∂ x ψ

Então, integrando as expressões para obter ψ , temos:

ψ x , y = ∫ u x , y d y = ∫ a x + b y d y → ψ x , y = a x y + b y 2 2 + f x

ψ x , y = - ∫ v x , y d x = - ∫ c x + d y d x → ψ x , y = - c x 2 2 - d x y + g y

Como vimos no passo 1 que a = - d então os termos a x y e – d x y que aparecem nas duas funções são iguais, dessa forma, comparando as duas equações, temos que:

f x = - c x 2 2 ; g y = b y 2 2

E a equação para a função corrente será:

ψ x , y = - c x 2 2 + b y 2 2 - d x y

Passo 3

Agora, para encontrar a função potencial, vamos usar:

u = - ∂ ∂ x ϕ ;     v = - ∂ ∂ y ϕ

Então, integrando as expressões para obter ϕ , temos:

ϕ x , y = - ∫ u x , y d x = - ∫ a x + b y d x → ϕ x , y = - a x 2 2 - b x y + f y

ϕ x , y = - ∫ v x , y d y = - ∫ c x + d y d y → ϕ x , y = - c x y - d y 2 2 + g x

Conforme vimos no passo 1, temos c = b , então os termos – b x y e – c x y são iguais, dessa forma, comparando o resto das equações, temos:

f y = - d y 2 2 ;     g x = - a x 2 2

E a equação para o potencial se torna:

ϕ x , y = - a x 2 2 + b x y - d y 2 2

Resposta

a = - d ;   c = b

ψ x , y = - c x 2 2 + b y 2 2 - d x y

ϕ x , y = - a x 2 2 + b x y - d y 2 2

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