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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 32

5.32 Um perfil de velocidade linear foi usado para modelar o escoamento em uma camada-limite laminar e imcompressível no Problemas 5.11. Deduza a função de corrente para este campo de escoamento. Localize as linhas de corrente a um quarto e a um meio da vazão volumétrica total na camada-limite.

Passo 1

A equação do perfil é u U = 2 π y δ - y δ 2

u = U 2 π y δ - y δ 2

Usando a definição de função de corrente

u = ∂ ψ ∂ y

U 2 π y δ - y δ 2 = ∂ ψ ∂ y

Separando as variáveis e integrando em relação a y

d ψ = U 2 π y δ - y δ 2 d y

∫ d ψ = U ∫ 2 π y δ - y δ 2   d y

ψ = U π y 2 δ - U y 3 3 δ 2 + C

Onde C é a constante em relação a y  

Como ψ = 0 em y = 0 , então C = 0 , e a função de corrente fica

ψ = U π y 2 δ - U y 3 3 δ 2

Passo 2

A linha de corrente tem valor máximo em y = δ

ψ m á x = U π δ 2 δ - U δ 3 3 δ 2

ψ m á x = U π δ - U 3 δ

ψ m á x = U δ ( π - 1 / 3 )

A vazão volumétrica total pode ser calculada como

Q t o t = ψ δ - ψ 0

Q t o t = U δ ( π - 1 / 3 ) - 0

Q t o t = U δ ( π - 1 / 3 )

Um quarto da vazão total

Q = Q t o t 4

Q = U δ ( π - 1 / 3 ) 4

Q = U δ π 4 - U δ 12

Como Q = ψ y - ψ 0

U δ π 4 - U δ 12 = U π y 2 δ - U y 3 3 δ 2

π y 2 δ - y 3 3 δ 2 = δ π 4 - δ 12

Vamos agrupar y / δ   , para ser “uma variável” e conseguirmos calcular, pois é uma equação de terceiro grau... afffff......

Dividindo por δ dos dois lados:

π y 2 δ 2 - y 3 3 δ 3   = π 4 - 1 12

  y δ 3 - 3 π y δ 2 + 3 π 4 - 1 4 = 0

Usando algum programa ou site para resolver porque não somos obrigado. Vamos achar três valores, um negativo e dois positivos, mas só o que está entre 0 e 1 vai servir, pois estamos cacuando y / δ .

y δ = 0,485

Metade da vazão total

Q = Q t o t 2

Q = U δ ( π - 1 / 3 ) 2

Q = U δ π 2 - U δ 6

Como Q = ψ y - ψ 0

U δ π 2 - U δ 6 = U π y 2 δ - U y 3 3 δ 2

π y 2 δ - y 3 3 δ 2 = δ π 2 - δ 6

Vamos agrupar y / δ   , para ser “uma variável” e conseguirmos calcular, pois é uma equação de terceiro grau...

Dividindo por δ dos dois lados:

π y 2 δ 2 - y 3 3 δ 3   = π 2 - 1 6

  y δ 3 - 3 π y δ 2 + 3 π 2 - 1 2 = 0

Usando algum programa ou site para resolver porque não somos obrigado. Vamos achar três valores, um negativo e dois positivos, mas só o que está entre 0 e 1 vai servir, pois estamos cacuando y / δ .

y δ = 0 , 694

Resposta

ψ = U π y 2 δ - U y 3 3 δ 2

y δ = 0,485

y δ = 0,694

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