5.49 Resolva o Problema 4.123 para msotrar que a velocidade radial na folga estreita é V r = Q / ( 2 π r h ) . Deduza uma expressão para a aceleração de uma partícula fluida na folga.

Passo 1

Vamos começar usando a equação da continuidade para coordenadas cinlíndricas:

1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ + ∂ ρ V z ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0  

Vamos considerar regime permanente e, com isso,

∂ ρ ∂ t = 0

Como a velocidade só tem componente em r ,

∂ ρ V θ ∂ θ = 0

∂ ρ V z ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com:

1 r ∂ r ρ V r ∂ r = 0

Se o escoamente é incompressível, então o ρ é constante e pode sair da derivada,

ρ 1 r ∂ r V r ∂ r = 0

Dividindo por ρ dos dois lados,

1 r ∂ r V r ∂ r = 0

Integrando em r,

r V r = C

Como a vazão é:

Q = 2 π r h V r

Então:

V r = Q 2 π r h

Com queríamos demonstrar

Passo 2

Como o problema é unidimensional em r e considerando estado estacionário, então a aceleração só vai ter componente x:

a p x = V r ∂ V r ∂ r

Como V r = Q 2 π r h ,

a p x = Q 2 π r h ∂ Q 2 π r h ∂ r

a p x = Q 2 π r h - Q 2 π r 2 h V

a p x = - Q 2 π r 2 V r 3  

Resposta

a p x = - Q 2 π r 2 V r 3  

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