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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 7

Uma expansão em séries de Taylor da função f ( x ) ao redor de alguma posição x 0 é dada por:

f x 0 + d x = f x 0 + d f d x x = x 0 d x + 1 2 ! d 2 f d x 2 x = x 0 d x 2 + 1 3 ! d 3 f d x 3 x = x 0 d x 3 + …

Considere a função f   x = exp ⁡ ( x ) = e x . Suponha que sabemos o valor de f   ( x ) em   x = x 0 , ou seja, sabemos o valor de f x 0 e queremos estimar o valor dessa função em algum local x próximo a x 0 . Gere os quatro primeiros termos de a expansão da série Taylor para a função especificada (até a ordem d x 3 , como na equação acima). Para x 0 = 0 e d x = - 0,1 , use a expansão truncada da série Taylor para estimar f x 0 + d x . Compare seu resultado com o valor exato de e - 0,1 . Quantos dígitos de precisão você alcança com sua série Taylor truncada?

Passo 1

Boom galera, apesar de assustadora esta questão é bem tranquilinha, ok?

Já sabemos que:

f   x = e x

E para a série de Taylor precisamos das derivadas primeira, segundas e terceira:

d f d x = e x

d 2 f d x 2 = e x

d 3 f d x 3 = e x

Portanto nossa equação ficará assim:

f x 0 + d x = e x 0 + e x 0 . d x + 1 2 ! e x 0 . d x 2 + 1 3 ! e x 0 . d x 3

Até aqui tudo tranquilo, né verdade?

Mas o problema nos disse mais uma coisa:

x 0 = 0

d x = - 0,1

Substituindo:

f 0 - 0,1 = e 0 + e 0 . - 0,1 + 1 2 × 1 e 0 . - 0,1 2 + 1 3 × 2 × 1 e 0 . - 0,1 3

f - 0,1 = 1 - 0,1 + 0,005 - 0,00017

f - 0,1 = 0,9048333

E quando aplicamos - 0,1 diretamente na função dada?

e - 0,1 = 0,9048374

Portanto, a série de Taylor nos fornece uma exatidão de cinco dígitos significativos !!

Resposta

C i n c o   !  

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