Uma expansão em séries de Taylor da função f ( x ) ao redor de alguma posição x 0 é dada por: f x 0 + d x = f x 0 + d f d x x = x 0 d x + 1 2 ! d 2 f d x 2 x = x 0 d x 2 + 1 3 ! d 3 f d x 3 x = x 0 d x 3 + … Considere a função fx = exp ⁡ ( x ) = e x . Suponha que sabemos o valor de f( x ) emx = x 0 , ou seja, sabemos o valor de f x 0 e queremos estimar o valor dessa função em algum local x próximo a x 0 . Gere os quatro primeiros termos de a expansão da série Taylor para a função especificada (até a ordem d x 3 , como na equação acima). Para x 0 = 0 e d x = - 0,1 , use a expansão truncada da série Taylor para estimar f x 0 + d x . Compare seu resultado com o valor exato de e - 0,1 . Quantos dígitos de precisão você alcança com sua série Taylor truncada?

Enunciado

Boom galera, apesar de assustadora esta questão é bem tranquilinha, ok?

Já sabemos que:

E para a série de Taylor precisamos das derivadas primeira, segundas e terceira:

Portanto nossa equação ficará assim:

Até aqui tudo tranquilo, né verdade?

Mas o problema nos disse mais uma coisa:

Substituindo:

E quando aplicamos diretamente na função dada?

Portanto, a série de Taylor nos fornece uma exatidão de cinco dígitos significativos !!