Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 56
56 – Como visto na seção 2.2.1, a Lei de Fourier não pode ser usada para predizer o fenômeno da transferência de calor associada com moléculas individuais. Similarmente, a Lei de Fick descreve o comportamento agregado de um grande número de moléculas, e não pode ser usado para predizer o comportamento de um número pequeno de moléculas.
O nariz humano pode ser sensível somente a algumas moléculas de substancias aromáticas. Em uma demonstração em uma sala de aula de um aquecimento volumétrico, seu professor trouxe um pacote de pipoca de micro-ondas e mediu sua variação de temperatura. Um segundo depois de abrir o pacote para inserir o termopar, alunos sentaram nos últimos assentos da sala, localizados 30 m do professor, para cheirar a pipoca quente. É plausível que o aroma da pipoca alcançou os alunos por advecção?
Usando a lei de Fick, estime o tempo necessário para os alunos serem expostos para uma certa quantidade do aroma, C/Cs = =0,0001, usando o conceito de profundidade de penetração da Seção 5.7 e os valores típicos do coeficiente de difusão para os gases no ar. A concentração Cs corresponde a máxima concentração aromática localizada na abertura do pacote. A lei de Fick pode ser usada para explicar a velocidade na qual a substancia aromática se move da frente da sala para o fundo da sala?
Passo 1
Vamos primeiramente responder a pergunta sobre o processo de advecção.
Relembrando que um processo de advecção é um processo de transferência de massa que ocorre devido a um gradiente de massa entre dois pontos, cujo mecanismo físico de transferência de massa é devido ao transporte mássico, ou seja, o movimento molecular através de um meio fluido. Como temos o ar atmosférico dentro da sala, então o aroma consegue se movimentar e se transportar através desse ar atmosférico.
Então, como há um gradiente de concentração do aroma de pipoca da frente da sala com o fundo da sala, e temos um meio fluido na qual o aroma pode se propagar, isto é, o aroma consegue se difundir pelo ar, então teremos que o aroma chegará até os alunos no fundo da sala por advecção.
Passo 2
Vamos relembrar então o conceito de profundidade de penetração.
A profundidade de penetração é um parâmetro definido como a profundidade na qual ocorre um significante efeito de uma propriedade, no caso a concentração, sobre o processo, e esta profundidade de penetração pode ser entendida como uma certa posição x na qual a razão de concentração possui um certo valor.
Da mesma seção 5.7, temos a Eq. 5.60 que é:
Onde, a função erf é uma função conhecida como função de erro de Gauss, que pode ser encontrada em tabelas.
Fazendo uma analogia entre temperatura e concentração, trocando a temperatura por concentração e a difusividade térmica, α, pela difusividade mássica, DAB, assim
Que podemos escrever como
Passo 3
Como foi dito, a profundidade de penetração mássica, no caso, é a posição x na qual a razão C/Cs possui um determinado valor, assim, para C/Cs = 0,0001, vamos ter que
Onde, x é a posição dos alunos no fundo da sala, ou seja, o valor de x será de 30 m, que é a distância entre o professor com o pacote de pipoca e os alunos
Pegando um valor de DAB na tabela A.8 para os gases no ar, considerando que o aroma tenho um comportamento próximo do benzeno, por ser uma molécula aromática, assim
Passo 4
Precisamos agora determinar o valor para o qual a função erf possui um valor de 0,0001
Precisamos achar o valor de w. Pela Tabela B.2, fazendo uma interpolação entre os valores disponíveis, vamos chegar que o valor de w correspondente a erf (w) = 0,0001 é:
Assim, vamos ter que
Isolando t,
Aplicando os valores:
Passo 5
Vamos agora para a lei de Fick.
A lei de Fick é descrita matematicamente como:
Onde, j é o fluxo mássico difusivo e , é o gradiente de concentração, isto é, a diferença de concentração entre dois pontos.
De forma destrinchada a eq. da lei de Fick é:
Assim, sendo j representando a velocidade na qual a molécula se difunde, então a lei de Fick consegue predizer a velocidade na qual a substancia aromática se move da frente da sala para o fundo da sala, sabendo a diferença de concentrações e a distância entre os pontos destas concentrações.