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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 69

5.69 Quais, se existir algum, dos seguintes campos de escoamento são irrotacionais?

(a) u = 2 x 2 + y 2 - x 2 y ; v = x 3 + x y 2 - 2 y

(b) u = 2 x y - x 2 + y ; v = 2 x y - y 2 + x 2

(c) u = x t + 2 y ; v = x t 2 - y t

(d) u = x + 2 y x t ; v = - 2 x + y y t

Passo 1

Em casos bidimensionais, o que é o nosso caso nos quatro casos (amém, glória a Deus), para ser irrotacional:

∂ u ∂ y - ∂ v ∂ x = 0

(a) u = 2 x 2 + y 2 - x 2 y ; v = x 3 + x y 2 - 2 y

∂ ( 2 x 2 + y 2 - x 2 y ) ∂ y - ∂ x 3 + x y 2 - 2 y ∂ x = 0

∂ ( 2 x 2 + y 2 - x 2 y ) ∂ y - ∂ x 3 + x y 2 - 2 x y ∂ x = 0

2 y - x 2 - 3 x 2 + 2 x y - 2 y = 0

- 4 x 2 + 2 x y ≠ 0

Então não é irrotacional.

Passo 2

(b) u = 2 x y - x 2 + y ; v = 2 x y - y 2 + x 2

∂ 2 x y - x 2 + y ∂ y - ∂ 2 x y - y 2 + x 2 ∂ x = 0

2 x + 1 - 2 y + 2 x = 0

1 - 2 y ≠ 0

Então não é irrotacional.

Passo 3

(c) u = x t + 2 y ; v = x t 2 - y t

∂ x t + 2 y ∂ y - ∂ x t 2 - y t ∂ x = 0

2 - t 2 = 0

2 - t 2 ≠ 0

Então não é irrotacional.

Passo 4

(d) u = x + 2 y x t ; v = - 2 x + y y t

∂ x + 2 y x t ∂ y - ∂ - 2 x + y y t ∂ x = 0

∂ x 2 t + 2 x y t ∂ y - ∂ - 2 x y t + y 2 t ∂ x = 0

2 x t - 2 y t = 0

2 x t - 2 y t ≠ 0

Então não é irrotacional.

Resposta

Nenhum deles é irrotacional.

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