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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 77

5.77 Considere o campo de escoamento representado pela função de corrente ψ = x 6 - 15 x 4 y 2 + 15 x 2 y 4 - y 6 . Esse é um possível escoamento bidimensional incompressível? O escoamento é irrotacional?

Passo 1

Vamos começar pela equação da continuidade:

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Considerando regime permanente,

∂ ρ ∂ t = 0

Para escoamento incompressível, podemos tirar o ρ de dentro da derivada:

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como não há componente ou variação de velocidade na direçao z , então:

∂ w ∂ z = 0

Ficando, finalmente, com:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 2

Agora vamos achar u e v a partir da definição de função de corrente:

u = ∂ ψ ∂ y

u = ∂ x 6 - 15 x 4 y 2 + 15 x 2 y 4 - y 6 ∂ y

u = - 30 x 4 y + 60 x 2 y 3 - 6 y 5

u = 60 x 2 y 3 - 30 x 4 y - 6 y 5

v = - ∂ x 6 - 15 x 4 y 2 + 15 x 2 y 4 - y 6 ∂ x

v = - 6 x 5 - 60 x 3 y 2 + 30 x y 4

v = 60 x 3 y 2 - 6 x 5 - 30 x y 4

Como u = 60 x 2 y 3 - 30 x 4 y - 6 y 5 e v = 60 x 3 y 2 - 6 x 5 - 30 x y 4 ,

∂ ( 60 x 2 y 3 - 30 x 4 y - 6 y 5 ) ∂ x + ∂ ( 60 x 3 y 2 - 6 x 5 - 30 x y 4 ) ∂ y = 0

120 x y 3 - 120 x 3 y + 120 x 3 y - 120 x y 3 = 0

0 = 0  

Como satisfaz a equação, então é um possível escoamento incompressível.

Passo 3

(b) Em casos bidimensionais, para ser irrotacional:

∂ u ∂ y - ∂ v ∂ x = 0

Como u = 60 x 2 y 3 - 30 x 4 y - 6 y 5 e v = 60 x 3 y 2 - 6 x 5 - 30 x y 4 ,

∂ 60 x 2 y 3 - 30 x 4 y - 6 y 5 ∂ y - ∂ 60 x 3 y 2 - 6 x 5 - 30 x y 4 ∂ x = 0

180 x 2 y 2 - 30 x 4 - 30 y 4 - 180 x 2 y 2 + 30 x 4 + 30 y 4 = 0

0 = 0

Como satisfaz a equação, então é irrotacional.

Resposta

Incompressível

Irrotacional

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