5.36 Em um escoamento unidimensional e paralelo na direção positiva de x , a velocidade varia lineramente de zero em y = 0 até 30   m / s em y = 1,5   m . Determine uma expressão para a função de corrente, ψ . Determine também a coordenada y acima da qual a vazão volumétrica é a metade da total entre y = 0 e y = 1,5   m .

Passo 1

Como é unidimensional e paralelo na direção positiva de x , vamos ver a imagem que respresenta isso pra ficar mais fácil de entender o que ele quer dizer:

O campo de velocidade vai ter um cara tipo:

u = U y h

30   m / s em y = 1,5   m ,

30 = U 1,5 h

U h = 20   s - 1

Passo 2

Usando a definição de função de corrente,

u = ∂ ψ ∂ y

U y h = ∂ ψ ∂ y

Separando as variáveis e integrando

d ψ = U h y   d y

∫ d ψ = U h ∫ y   d y

ψ = U h y 2 2 + C  

Onde C é a constante de integração.

Passo 3

Para calcular a vazão volumétrica total:

Q t o t a l = ψ 1,5 - ψ 0

Q t o t a l = U h 1,5 2 2

Como U h = 20   s - 1 ,

Q t o t a l = 20 1,5 2 2

Q t o t a l = 22,5 m 3 s   m

Para metade da vazão,

Q = Q t o t a l 2

Q = 22,5 2

Q = 11,25 m 3 s   m

Como Q = ψ y - ψ 0

11,25 m 3 s   m = U h y 2 2

11,25 m 3 s   m = 20 y 2 2

y = 1,06   m

Resposta

ψ = U h y 2 2 + C  

y = 1,06   m

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