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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 36

Escreva as componentes da equação de Euler desenvolvendo-se tanto quanto possível em coordenadas (x, y, z) e (u, v, w). Suponha que a gravidade age em alguma direção arbitrária.

Passo 1

Vamos primeiro partir da equação de Euler, beleza?

ρ ∂ V → ∂ t + V → . ∇ → V → = ∇ → P + ρ g →

Lembre sempre de uma coisa, o que é o operador nabla?

∇ → = ∂ (       ) / ∂ x →

Onde x → é um vetor posição.

Por exemplo, em coordenadas cartesianas podemos dizer que nabla é:

∇ → = ∂       ∂ x + ∂       ∂ y + ∂       ∂ z

Passo 2

Agora, a gente abre a equação e reescreve ela pra cada componente, se liga!!

Lembrando que V = ( u, v , w )!!

Direção x:

ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = - ∂ P ∂ x + ρ g x

Direção y:

ρ ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z = - ∂ P ∂ y + ρ g y

Direção z:

ρ ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z = - ∂ P ∂ Z + ρ g z

Resposta

Direção x:

ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = - ∂ P ∂ x + ρ g x

Direção y:

ρ ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z = - ∂ P ∂ y + ρ g y

Direção z:

ρ ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z = - ∂ P ∂ Z + ρ g z

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