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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 79

5.79 Considere o campo de escoamento representado pela função de corrente ψ = - A / 2 x 2 + y 2 , em que A é constante. Esse é um possível escoamento bidimensional incompressível? O escoamento é irrotacional?

Passo 1

Vamos começar pela equação da continuidade:

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Considerando regime permanente,

∂ ρ ∂ t = 0

Para escoamento incompressível, podemos tirar o ρ de dentro da derivada:

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como não há componente ou variação de velocidade na direçao z , então:

∂ w ∂ z = 0

Ficando, finalmente, com:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 2

Agora vamos achar u e v a partir da definição de função de corrente:

u = ∂ ψ ∂ y

u = ∂ - A / 2 x 2 + y 2 ∂ y

u = - - 1 2 2 A y x 2 + y 2 3 2

u = A y x 2 + y 2 3 2

v = - ∂ x 6 - 15 x 4 y 2 + 15 x 2 y 4 - y 6 ∂ x

v = - - 1 2 2 A x x 2 + y 2 3 2

v = A x x 2 + y 2 3 2

Como u = A y x 2 + y 2 3 2 e v = A x x 2 + y 2 3 2 ,

∂ A y x 2 + y 2 3 2 ∂ x + ∂ A x x 2 + y 2 3 2 ∂ y = 0

- 3 2 2 A x y x 2 + y 2 5 2 + - 3 2 2 A x y x 2 + y 2 5 2 = 0

0 = 0  

Como satisfaz a equação, então é um possível escoamento incompressível.

Passo 3

(b) Em casos bidimensionais, para ser irrotacional:

∂ u ∂ y - ∂ v ∂ x = 0

Como u = A y x 2 + y 2 3 2 e v = A x x 2 + y 2 3 2

∂ A y x 2 + y 2 3 2 ∂ y - ∂ A x x 2 + y 2 3 2 ∂ x = 0

- 3 2 2 A x y x 2 + y 2 5 2 - - 3 2 2 A x y x 2 + y 2 5 2 = 0

- 3 A x y x 2 + y 2 5 2 ≠ 0

Como não satisfaz a equação, então não é irrotacional.

Resposta

Incompressível

Não é irrotacional

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