6.3 Um escoamento horizontal de água é descrito pelo campo de velocidade V → = - A x + B t i ^ + A y + B t j ^ , em que A = 1   s - 1 , B = 2   m / s 2 , x e y são em metros e t é em segundos. Encontre expressões para a aceleração local, aceleração convectiva e aceleração total. Avalie essas no ponto (1,2) em t=5 s. Avalie ∇ p neste mesmo ponto e tempo.

Passo 1

Para a aceleração local temos:

a → p , l o c a l = ∂ V → ∂ t

a → p , l o c a l = ∂ - A x + B t i ^ + A y + B t j ^ ∂ t

a → p , l o c a l = B i ^ + B j ^

Para a aceleração convectiva temos:

a → p , c o n v e c = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z

Considerando bidimensional em xy, então w ∂ V → ∂ z = 0 e:

a → p , c o n v e c = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Calculando as derivadas parciais:

∂ V → ∂ x = - A i ^

∂ V → ∂ y = A j ^

Sendo u = - A x + B t e v = A y + B t , ficamos com:

a → p , c o n v e c = - A x + B t - A i ^ + A y + B t A j ^

a → p , c o n v e c = A 2 x - A B t i ^ + A 2 y + A B t j ^

A aceleração total é a soma da convectiva com a local, então

a → p , t o t a l =   B i ^ + B j ^ + A 2 x - A B t i ^ + A 2 y + A B t j ^

a → p , t o t a l =   A 2 x - A B t + B i ^ + A 2 y + A B t + B j ^

Passo 2

No ponto x , y = 1,2 e em t = 5   s (e com A = 1   s - 1 e B = 2   m / s 2 ), ficamos com

a → p , l o c a l = 2 i ^ + 2 j ^

a → p , c o n v e c = 1 2 1 - 1 2 5 i ^ + 1 2 2 + 1 2 5 j ^

a → p , c o n v e c = - 9 i ^ + 12 j ^

a → p , t o t a l =   2 i ^ + 2 j ^ - 9 i ^ + 12 j ^

a → p , t o t a l =   - 7 i ^ + 14 j ^

Passo 3

Para o gradiente de pressão temos:

Na direção x:

∂ p ∂ x = ρ g x - ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Reparando que o que está dentro dos parênteses é a componente x da aceleração total que já achamos no passo anterior inclusive no ponto (x,y)=(1,2), então:

∂ p ∂ x = ρ g x - ρ a p , x

Como g x = 0 (pois o escoamento é horizontal) e ρ é conhecido ( ρ = 1000   k g / m 3 )

∂ p ∂ x = - 1000 k g m 3 - 7 m s 2 = 7000 k g m 3 m s 2  

Sabemos,

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ x = 7000 N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ x = 7000 P a m

Passo 4

Na direção y:

∂ p ∂ y = ρ g y - ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z + ∂ v ∂ t

Reparando que o que está dentro dos parênteses é a componente y da aceleração que já achamos no passo anterior inclusive no ponto (x,y)=(1,2), então:

∂ p ∂ y = ρ g y - ρ a p , y

Como g y = 0   (pois o escoamento é horizontal) e ρ é conhecido

∂ p ∂ y = - 1000 k g m 3 14 m s 2 = - 14000 k g m 3 m s 2  

Como,

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ y = - 14000 N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ y = - 14000 P a m

Passo 5

Na diração z, como o escoamento é horizontal, vamos considerar que a aceleração não tem componente em z, ficando só a aceleração da gravidade.

∂ p ∂ z = ρ g z

Considerando g no sentido negativo de z:

∂ p ∂ z = 1000 k g m 3 - 9,81 m s 2

Como,

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ z = - 9810 N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ z = - 9810 P a m

Ficando, o gradiente de pressão:

∇ p = 7000 i ^ - 14000 j ^ - 9810 k ^ P a m  

Resposta

a → p , l o c a l = B i ^ + B j ^

a → p , c o n v e c = A 2 x - A B t i ^ + A 2 y + A B t j ^

a → p , t o t a l =   A 2 x - A B t + B i ^ + A 2 y + A B t + B j ^

a → p , l o c a l = 2 i ^ + 2 j ^

a → p , c o n v e c = - 9 i ^ + 12 j ^

a → p , t o t a l =   - 7 i ^ + 14 j ^

∇ p = 7000 - 14000 j ^ - 9810 k ^ P a m  

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