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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 52

Considere um campo de velocidade permanente, bidimensional, incompressível, irrotacional especificado por sua funçãopotencial de velocidade, ϕ   =   5 ( x 2 — y 2 ) + 2 x   —   4 y .

(a) Calcule as componentes da velocidade u e v .

(b) Certifique-se de que o campo de velocidade seja irrotacional na região na qual ϕ

se aplica.

(c) Gere uma expressão para a função de corrente nessa região.

Passo 1

Oioi, xentê! Vamos resolver o que esses itens nos pede.

Bom, nós temos uma função potencial,para o item (a) devemos calcular as componentes de velocidade. São elas:

u = ∂ ϕ ∂ x e v = ∂ ϕ ∂ y

Vamos lá, derivando:

u = ∂ ∂ x 5 x 2 - 5 y 2 + 2 x   —   4 y = 10 x + 2

v = ∂ ∂ y 5 x 2 - 5 y 2 + 2 x   —   4 y = - 10 y - 4

Passo 2

Já para o item (b), nós temos que determinar se temos um escoamento irrotacional, sendo assim, a componete z deve ser zero:

ζ → z = ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = 0 - 0 = 0

Assim, o fluxo é irrotacional na região na qual ϕ   se aplica.

Passo 3

No item (c), para gerar uma função de corrente precisamos integrar o componente u , associando ao componente da função corrente ∂ ψ ∂ y = u e isolar ψ :

∂ ψ = u   d y       ∴       ∫ 1 d ψ = - ∫ 10 x + 2     d y      

ψ = 10 x y - 2 y + f ( x )

Assim, podemos diferenciar o resultado para calcular v :

v = - ∂ ψ ∂ x = - ∂ ∂ x 10 x y - 2 + f x = - 10 y - f ' x

= - 10 y - 4

A partir do componente que achamos no passo 1 , f ' x = 4 , podemos integrar em relação a x :

f x = 4 x + C

Logo, unindo os termos, temos:

ψ = 10 x y - 2 y + 4 x + C

Prontinho!!

Resposta

(a)   u = 10 x + 2 e v = - 10 y - 4

(b) o fluxo é irrotacional na região na qual ϕ   se aplica.

(c) ψ = 10 x y - 2 y + 4 x + C

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