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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 71

71 - Em um processo de fabricação, um longo bastão de plástico revestido ( ρ = 2200   k g / m 3 , c = 800   J / ( k g   ·   K ) , k = 1   W / ( m   ·   K ) ) com diâmetro D = 20   m m está inicialmente a uma temperatura uniforme de 25   ℃ e é subitamente exposto a um escoamento cruzado de ar a T ∞ = 350 ℃ e V   =   50   m / s .

(a) Quanto tempo levará para a superfície do bastão atingir 175   ℃ , a temperatura acima da qual o revestimento especial será curado?

(b) Gere um gráfico do tempo para atingir 175   ℃ como um a função da velocidade do ar para 5   ≤   V   ≤   50   m / s .

Passo 1

Antes de iniciarmos, precisamos calcular a temperatura de filme que é dada por:

T f = T s + T ∞ 2

Só que nesse caso temos que a temperatura de superfície é uma temperatura média, entre a temperatura uniforme e a temperatura que se quer atingir, logo:

T s = 175 + 25 2 = 100   ℃

Portanto, temos que a temperatura de filme é:

T f = 100 + 350 2 = 225   ℃ ≅ 500   K  

Passo 2

Obtenha as propriedades da tabela A.4, “Propriedades termo físicas dos gases à pressão atmosférica”

À temperatura de  T f = 500   K .

Viscosidade cinemática é:

v = 38,79 × 10 - 6   m 2 / s

Condutividade térmica é:

k = 0,0407   W \ m K

O número Prandtl é:

P r = 0,684

Passo 3

Agora vamos comigo, calcular o número de Reynolds.

R e D = V D v

= 50 × 0,020 38,79 × 10 - 6

= 25780

Passo 4

Agora, com o número de Reynolds, vamos calcular o número de nusselt por meio da equação 7.54 .

N u = 0,3 + 0,62 R e 0,5 Pr ⁡   1 3   1 + 0,4 P r 2 3 1 / 4 1 + R e D 282000 5 8 4 / 5

= 0,3 + 0,62 ( 25780 ) 0,5 ( 0,684 ) ⁡   1 3   1 + 0,4 0,684 2 3 1 / 4 1 + 25780 282000 5 8 4 / 5

= 0,3 + 87,7106 1,1417 × ( 1,17566 )

= 90,6199

Passo 5

O coeficiente convectivo de transferência de calor do ar é determinado a partir da equação dada por:

N u = h D k

Reescreva para achar h :

h = N u × k D

= 90,6199 × 0,0407 20 × 10 - 3

= 184,5   W m 2 ⋅ K

Passo 6

Agora venha comigo para calcular o número do biot para a validação da capacitância concentrada.

B i = h r o 2 k

Aqui, h é o coeficiente médio de transferência de calor,  r o é o raio externo e  k é a condutividade térmica do material (alumínio).

= 184,5 0,010 2 1

= 92,25 × 0,010

= 0,9225 ≫ 0,1

Portanto, a capacitância concentrada não é válida.

Passo 7

Agora vamos calcular a diferença de temperatura sem dimensão.

θ * = T o r o , t - T ∞ T i - T ∞

Aqui  T o r o , t é a temperatura da haste na superfície,  T ∞ é a temperatura do ar e  T i é a temperatura uniforme inicial da haste.

= 175 - 350 25 - 350

= - 175 - 325

= 0,54

Passo 8

Agora vamos calcular o número de Biot para a haste.

B i = h r o k

= 184,5 × 10 × 10 - 3 1

= 1,845

Passo 9

Obtenha os valores dos coeficientes  ς 1 e C 1 do cilindro infinito na tabela 5.1 (coeficientes usados ​​na aproximação de um termo para as soluções em série para condução unidimensional transitória) com o número de Biot igual a 1,845 .

Por meio de interpolação entre os valores de 1 e 2   para Biot, temos:

ς 1 = 1,546   r a d

C 1 = 1,318

Passo 10

Precisamos agora da quantidade adimensional r * .

r * = r r o

Aqui, o r é o raio variável e r o é o raio externo da haste.

Substituindo r o por r , temos:

r * = r o r o = 1

Passo 11

Vamos agora calcular o valor da função Bessel de primeiro tipo por meio da seguinte equação:

J 0 ς 1 r * = J 0 ( 1,546 × 1 )

= J 0 ( 1,546 )

Obtenha o valor de J 0 ( 1,546 ) na tabela B.4 (função de Bessel de primeiro tipo) no valor  x = 1,546 usando a interpolação entre os valores  1,5 e  1,6 .

J 0 1,546 = 0,4859

Passo 12

Para encontramos o tempo, falta encontrar duas variáveis.

A primeira é o número de Fourier ( F o ) que pode ser obtida pela seguinte relação:

θ * = C 1 exp ⁡ ( ς 1 2 F o ) J o ( ς 1 r * )

0,54 = 1,318 × exp ⁡ - 1,546 2 F o J o ( 1,546 × 1 )

0,4097 = exp ⁡ - 2,39 F o × 0,4859

ln ⁡ exp ⁡ ( - 2,39 F o = ln ⁡ ( 0,8432 )

F o = 0,072

Passo 13

A segunda variável que falta é a difusividade térmica da haste que pode ser encontrada com a seguinte relação.

α = k ρ c

Aqui, ρ é a densidade da haste e  c é o calor específico da haste.

= 1 2200 × 800

= 1 1,76 × 10 6

= 5,68 × 10 - 7 m 2 / s

Passo 14

Agora, finalmente podemos calcular o tempo necessário para a haste atingir 175   ℃ .

F o = α t r o 2

0,072 = 5,68 × 10 - 7 × t 10 × 10 - 3 2

t = 12,676   s

Portanto, o tempo necessário para a superfície da haste alcançar  175 ℃ é 12,676   s .

Resposta

  1. t = 12,676   s
  2. É necessário o uso de ferramenta gráfica
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