Enunciado

77 – Esboce o gráfico da perda de calor por unidade de comprimento do coletor solar do problema 9.76 sobre uma faixa de 0,1 ≤ D0 ≤ 0,25 m assumindo (i) transferência de calor por condução através do espaço anular (ii) transferência de calor por convecção através do espaço anular. Determine o diâmetro externo que forneça a mínima perda de calor através do espaço de ar por unidade de comprimento do coletor, e o valor desta perda.

Passo 1

A taxa de transferência de calor por unidade de comprimento pelo problema 9.76 vai ser a seguinte, considerando uma condução de calor através do ar no espaço anular entre os cilindros

q ' = q L = 1 L 2 π L k e f ( T i - T o ) ln ⁡ ( D o / D i )

q ' = 2 π k e f ( T i - T o ) ln ⁡ ( D o / D i )

Onde,

-q’ é a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento;

-L é o comprimento;

-kef é a condutividade térmica efetiva;

-Ti é a temperatura interna;

-To é a temperatura externa;

-Di é o diâmetro interno;

-Do é o diâmetro externo;

Vamos pegar os dados do problema 9.76 que serão uteis para os cálculos:

Os dados do problema 9.76 são:

D i = 0,08 m ;   D o = 0,10 m ; T i = 80 ℃ = 353 K ; T o = 30 ℃ = 303 K

Para o ar a 330K, pela Tabela A.4:

v = 1 8 , 9 1 x 10 - 6 m 2 s ;   α = 2 6 , 94 x 10 - 6 m 2 s ; β = 1 33 0 K = 0,003 0 3 K - 1

P r = 0,70 4 ; k = 2 8 , 6 x 10 - 3 W m K

Passo 2

A condutividade térmica efetiva pode ser determinada pela seguinte expressão

k e f = 0,386 k P r 0,861 + P r 0,25 R a C 0,25

Onde para Rayleigh (Rac):

R a C = g β T i - T o L C 3 v α

Onde LC para tubos cilíndricos concêntrico é calculado pela expressão abaixo:

L C = 2 ln ⁡ D o D i 4 3 D i 2 - 0,6 + D o 2 - 0,6 5 3

Assim para Rayleigh:

R a C = g β T i - T o v α 2 ln ⁡ D o D i 4 3 D i 2 - 0,6 + D o 2 - 0,6 - 5 3 3

R a C = g β T i - T o v α 8 ln ⁡ D o D i   4 D i 2 - 0,6 + D o 2 - 0,6 - 5  

Passo 3

Vamos deixar Rayleigh em função apenas de Do:

Substituindo os valores, exceto para Do

R a C = ( 9,81 ) ( 0,00303 ) 80 - 30 18,91 x 10 - 6 26,94 x 10 - 6 8 ln ⁡ D o 0,08   4 0,08 2 - 0,6 + D o 2 - 0,6 - 5

R a C = 2 , 33 x 10 10 ln ⁡ D o 0,08   4 6,9 + D o 2 - 0,6 - 5

Fazendo a mesma coisa para kef, que vai ficar em função de Rayleigh

k e f = 0,386 28,6 x 10 - 3 0,704 0,861 + 0,704 0,25 R a C 0,25

k e f = 0,009 R a C 0,25

E para q’

q ' = 2 π k e f ( 80 - 30 ) ln ⁡ ( D o / 0,08 )

q ' = 100 π k e f ln ⁡ ( D o / 0,08 )

Substituindo o kef para q’ ficar em função apenas de Rayleigh:

q ' = 100 π 0,009 R a C 0,25 ln ⁡ ( D o / 0,08 )

q ' = 0,9 π ln ⁡ ( D o / 0,08 ) R a C 0,25

Assim, para você plotar o gráfico, para os valores de Do, calcule Rayleigh para cada Do e depois calcule o q’, com o valore de Do e o Rayleigh correspondente.

Passo 4

Para realizar tal tarefa, usar uma ferramenta gráfica é a melhor opção, pois vai te economizar tempo por ser mais prático.

Usando o EXCEL, para obter os dados de q’ vs Do e plotar o gráfico:

Obteve-se os seguintes dados:

Com os dados acima, obteve-se o seguinte gráfico:

Pelo gráfico vemos que o valor de Do que minimiza q’ é

D 0 = 0,1   m

O valor mínimo de q’ é então:

q ' m i n = 45   W

Resposta

D 0 = 0,1   m

q ' m i n = 45   W

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