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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 71

Uma janela de vidro duplo, vertical, que tem 1   m de lado e um espaço de 25   m m preenchido com ar atmosférico, separa o ar quiescente de uma sala a T ∞ , i = 20 ° C do ar ambiente externo, também quiescente, a T ∞ , e = 22 0 ° C . As trocas radiantes entre as lâminas de vidro, assim como entre as lâminas de vidro e os seus ambientes adjacentes, podem ser desprezadas.

(a) Desprezando a resistência térmica associada à transferência de calor por condução através de cada lâmina de vidro, determine a temperatura correspondente de cada lâmina e a taxa de transferência de calor através da janela.

(b) Comente sobre a validade de se desprezar a resistência condutiva nas lâminas de vidro, se cada uma tiver uma espessura de L v = 6   m m .

Passo 1

Opa, beleza?

Vem comigo que juntos a gente resolve essa questão!

Letra a)

Começamos o nosso problema considerando que ocorrerá apenas convecção natural em nosso sistema, além disso, não ocorrem perdas de calor entre a passagem de energia da janela para os ambientes e vice-versa. Então:

q = h - i A T s , 1 - T ∞ , i = h - j A T s , 2 - T s , 1 = h - e A T ∞ , e - T s , 2

h - i T s , 1 - T ∞ , i = h - j T s , 2 - T s , 1 = h - e T ∞ , e - T s , 2

Assim, devemos obter os coeficientes convectivos associados as transferências de calor e verificar se atendem a condição imposta acima.

Para isso, vamos fazer um “chute” para as temperaturas de superfície:

T s , 1 = 69 ° C

T s , 2 = 162 ° C

Agora, vamos aos cálculos!

Passo 2

Analisando a primeira parte da nossa relação, ou seja, o ambiente interno, temos:

T - m = T s , 1   + T ∞ , 1 2

T - m = 69 + 20 2 = 44,5 ° C   ( 317,5   K )

Pela Tabela A.4, para o ar sob essa temperatura, obtemos:

ρ i n t = 1,1032   k g / m 3

c p i n t = 1007,7   J / k g ⋅ K

v i n t = 17,65 × 10 - 6   m 2 / s

k i n t = 27,6 × 10 - 3   W / m ⋅ K

P r i n t = 0,705

Calculando o número de Rayleigh:

R a H = g β ∆ T H 3 k ρ c p v

Substituindo os dados:

R a H = 9,8 ⋅ 1 317,5 ⋅ 69 - 20 ⋅ 1 3 27,6 × 10 - 3 1,1032 ⋅ 1007,7 ⋅ 17,65 × 10 - 6

R a H = 3,455 × 10 9

Calculando o coeficiente convectivo pela relação do número de Nusselt:

N u H = h - i H k = 0,825 + 0,387 R a H 1 6 1 + 0,492 P r 8 27 2

h - i = k H 0,825 + 0,387 R a H 1 6 1 + 0,492 P r 8 27

Substituindo os dados:

h - i = 27,6 × 10 - 3 1 ⋅ 0,825 + 0,387 ⋅ 3,455 × 10 9 1 6 1 + 0,492 0,705 8 27

h - i = 4,98   W / m 2 ⋅ K

Calculando o nosso fluxo de convecção:

q ' ' = h - i T s , 1 - T ∞ , i

q ' ' = 4,98 ⋅ 69 - 20

q ' ' = 244   W / m 2

Agora, devemos calcular os demais fluxos e compará-los!

Passo 3

Para a segunda parte da nossa relação, devemos calcular o coeficiente convectivo externo e o seu fluxo de calor:

T - m = T ∞ , e + T s , 2 2

T - m = 220 + 162 2 = 191 ° C   ( 464   K )

Pela Tabela A.4, para o ar sob essa temperatura, obtemos:

ρ e x t = 0,7523   k g / m 3

c p e x t = 1023,5   J / k g ⋅ K

v e x t = 34,95 × 10 - 6   m 2 / s

k e x t = 38,3 × 10 - 3   W / m ⋅ K

P r e x t = 0,685

Calculando o número de Rayleigh:

R a L = g β ∆ T L 3 k ρ c p v

Substituindo os dados:

R a L = 9,8 ⋅ 1 388,5 ⋅ 162 - 69 ⋅ 25 × 10 - 3 3 3 2,9 × 10 - 3 0 , 8996 ⋅ 10 12,9 ⋅ 25,15 × 10 - 6

R a H = 40404,6

Calculando o coeficiente convectivo pela relação do número de Nusselt:

N u H = h - j H k = 0,42 R a L 1 4 P r 0,012 H L - 0,3

h - j = k H 0,42 R a L 1 4 P r 0,012 H L - 0,3

Substituindo os dados:

h - j = 32,9 × 10 - 3 1 ⋅ 0,42 ⋅ 40404,6 1 4 ⋅ 0,692 0,012 ⋅ 1 25 × 10 - 3 - 0,3

h - j = 2,58   W / m 2 ⋅ K

Calculando o nosso fluxo de convecção:

q ' ' = h - j T ∞ , e - T s , 2

q ' ' = 4,205 ⋅ 220 - 162

q ' ' = 243,9   W / m 2

Percebemos que temos uma proximidade com o valor encontrado anteriormente para o ambiente interno.

Agora, devemos conferir a última parte da nossa equação!

Passo 4

Para a última parte da nossa relação, devemos calcular o coeficiente convectivo da nossa junta e o seu fluxo de calor:

T - m = T s , 2 + T s , 1 2

T - m = 1 62 + 69 2 = 11 5,5 ° C   ( 388,5   K )

Pela Tabela A.4, para o ar sob essa temperatura, obtemos:

ρ j u n = 0,7523   k g / m 3

c p j u n = 1023,5   J / k g ⋅ K

v j u n = 34,95 × 10 - 6   m 2 / s

k j u n = 38,3 × 10 - 3   W / m ⋅ K

P r j u n = 0,685

Calculando o número de Rayleigh:

R a H = g β ∆ T H 3 k ρ c p v

Substituindo os dados:

R a H = 9,8 ⋅ 1 464 ⋅ 220 - 162 ⋅ 1 3 38,3 × 10 - 3 0,7523 ⋅ 1023,5 ⋅ 34,95 × 10 - 6

R a H = 7,054 × 10 8

Calculando o coeficiente convectivo pela relação do número de Nusselt:

N u H = h - e H k = 0,825 + 0,387 R a H 1 6 1 + 0,492 P r 8 27 2

h - e = k H 0,825 + 0,387 R a H 1 6 1 + 0,492 P r 8 27

Substituindo os dados:

h - e = 38,3 × 10 - 3 1 ⋅ 0,825 + 0,387 ⋅ 7,054 × 10 8 1 6 1 + 0,492 0,685 8 27

h - i = 4,205   W / m 2 ⋅ K

Calculando o nosso fluxo de convecção:

q ' ' = h - i T s , 2 - T s , 1

q ' ' = 2,58 ⋅ 162 - 69

q ' ' = 2 40   W / m 2

Percebemos apenas um ligeiro desvio entre os fluxos térmicos encontrados para as três partes da nossa equação, assim podemos assumir as temperaturas superficiais das placas adotadas como valores bem próximos dos reais.

T s , 1 = 69 ° C

T s , 2 = 162 ° C

Passo 5

Letra b)

Aqui, devemos verificar se a resistência condutiva poderia ser desprezada, e para isso devemos calcular as resistências convectivas com os coeficientes convectivos encontrados na letra (a), utilizaremos a seguinte equação:

R c o n v = 1 h A

Resistência interna:

R c o n v ,   i n t = 1 h - i A = 1 h - i H 2

R c o n v ,   i n t = 1 4,98 ⋅ 1 2 = 0,20   m 2 ⋅ K / W

Resistência externa:

R c o n v ,   e x t = 1 h - e A = 1 h - e H 2

R c o n v ,   e x t = 1 4,205 ⋅ 1 2 = 0,2 4   m 2 ⋅ K / W

Resistência da junta:

R c o n v ,   j u n = 1 h - j A = 1 h - j H 2

R c o n v ,   j u n = 1 2,58 ⋅ 1 2 = 0 , 39   m 2 ⋅ K / W

Agora que temos uma ideia das resistências convectivas associadas ao nosso sistema, devemos calcular a condutiva.

Pela Tabela A.3, para o vidro, obtemos:

k v i d r o = 1,4   W / m ⋅ K

Então, temos que a resistência condutiva do nosso sistema é:

R c o n d = L k A = 2 L k H 2

R c o n d = 2 ⋅ 6 × 10 - 3 1,4 ⋅ 1 2 = 0,009   m 2 ⋅ K / W

Como a nossa resistência condutiva possuí um valor muito pequeno comparado aos outros, podermos desprezá-la!

Até a próxima questão!

Resposta

T s , 1 = 69 ° C

T s , 2 = 162 ° C

R e s i s t ê n c i a   C o n d u t i v a   D e s p r e z í v e l

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