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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 90

90 – Uma folha de papel molhado de 205mm x 245mm está pendurado em um dia quente e ensolarado. O ar ainda está na temperatura de 30°C e a umidade relativa é de 40%. Para maximizar a taxa de secagem, a folha deveria estar pendurada com sua dimensão maior ou sua dimensão menor na direção vertical? Determine a máxima taxa de secagem quando a temperatura da folha é 26°C.

Passo 1

Vamos relembrar, primeiramente que em um processo de secagem, a taxa de secagem é dada pela taxa de transferência de massa do fluido para o ar ambiente, sendo que a taxa de transferência de massa é proporcional ao coeficiente de transferência de massa e ao gradiente de concentração. Matematicamente é o seguinte para a taxa de secagem:

n A = h m A ρ A , S a t - ρ ∞         E q 1

Onde,

-nA a taxa mássica de evaporação da água, que representa aqui a taxa mássica de secagem do papel;

-hm é o coeficiente de transferência de massa;

-A é a área superficial do papel;

-ρágua,Sat é a densidade do vapor de água saturada na temperatura do processo;

- ρ ∞ , é a densidade da água saturada no ar.

A área superficial da folha de papel é dada por

A = 205 m m 245 m m = 50225 m m 2 = 0,05 m 2

As densidades podem ser determinadas em tabelas da água saturada pegando a temperatura de 30ºC=303K, na qual para a densidade da água no ar temos que ela depende da umidade relativa da seguinte forma:

ρ ∞ = Φ ρ á g u a , S a t

Onde,

-φ é a umidade relativa, 40%.

Assim,

n A = h m A ρ á g u a , S a t - Φ ρ á g u a , S a t

n A = h m A ρ á g u a , S a t 1 - Φ                 E q 2

Passo 2

Agora vamos determinar uma forma de encontrar o coeficiente de transferência de massa, hm. Para isso podemos usar as correlações associadas ao nº de Sherwood (Sh) que para fluxo livre, este depende do nº de Schmidt (Sc) e do nº de Grashof (Gr), segundo a seguinte correlação

S h = C G r S c n

Lembrando que

S h = h m L D A B

S c = v D A B

G r = g ρ A , s a t - ρ ∞ L 3 ρ v 2

Onde, DAB é o coeficiente difusivo de transferência de massa. Assim,

h m = S h D A B L

h m = D A B L C G r S c n

h m = D A B L C g ρ A , s a t - ρ ∞ L 3 ρ v 2 v D A B n

h m = D A B 1 - n   C g ρ A , s a t - ρ ∞ ρ v n L 3 n - 1                 E q 3

Passo 3

Vamos agora substituir hm na Eq2 por essa Eq3

n A = D A B 1 - n   C g ρ A , s a t - ρ ∞ ρ v n L 3 n - 1 A ρ á g u a , S a t 1 - Φ                 E q 4

As constantes C e n são encontradas na tabela 9.2 do cap. 9 do Incropera, e estas dependem do nº de Rayleigh (Ra), onde Rayleigh é definido como

R a = G r P r

Antes de calcular, vamos analisar a pergunta feita sobre qual deve ser a orientação da dimensão vertical, se é a maior ou a menor, sendo que L representa o comprimento vertical. Pela Eq4 vemos que a taxa de secagem nA é diretamente proporcional a L3n-1, sendo que n pela tabela 9.2 possui um valor máximo de 0,3333. Dessa forma, o termo 3n-1 vai resultar em um valor negativo. Logo, vamos ter o valor de L elevado a uma potência negativa que fará com que a taxa de secagem seja inversamente proporcional a L. Portanto, quanto menor o valor de L maior será a taxa de secagem, e com isso a orientação que maximiza a taxa de secagem é a dimensão menor na posição vertical.

Para maximizar a taxa de secagem:

L = 205   m m = 0,205   m

Passo 4

Vamos aos cálculos

Calculando Rayleigh

R a = G r P r = g ρ A , s a t - ρ ∞ L 3 ρ v 2 P r

R a = g ρ A , s a t - 0,4 ρ A , s a t L 3 ρ v 2 P r

Vamos agora encontrar os dados tabelados.

-Dados para o ar, Tabela A.4, T=30ºC=303K:

v = 15,95 x 10 - 6 m 2 s ; P r = 0 , 708 , ; ρ = 1,18 k g m 3

-Dados para vapor de água saturado, Tabela A.6, T=26ºC=300K:

ρ á g u a , S a t = 1 v á g u a , S a t = 1 39,13 m 3 k g = 0,02556 k g m 3 ;   H v a p = 2438 x 10 3 J k g

-Dado para o coeficiente difusivo DAB, Tabela A.8, temperatura 30ºC=303K:

D A B = 0,26 x 10 - 4 m 2 s

Aplicando os valores

R a = 9,81 m s 2 0,6 0,02556 k g m 3 ( 0,205 m ) 3 1,18 k g m 3 15,95 x 10 - 6 m 2 s 2 0,708

R a = 4,32 x 10 7

Passo 5

Pela tabela 9.2, para esse valor de Rayleigh:

n = 0,333 ; C = 0,125

Calculando a taxa máxima de secagem:

n A = 0,125 0,26 x 10 - 4 m 2 s 1 - 0,33 3   9,81 m s 2 0,6 0,02556 k g m 3 1,18 k g m 3 15,95 x 10 - 6 m 2 s 0,333 0,205 m 3 ( 0,333 ) - 1 0,05 m 2 0,02556 k g m 3 0,6

n A = 1,7 x 10 - 6 k g s

Resposta

Dimensão menor na vertical para maximizar a taxa de secagem.

n A = 1,7 x 10 - 6 k g s

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