Enunciado

87 – A Figura P11.87 mostra uma turbina radial idealizada. O escoamento absoluto entra a 30° e sai radialmente no seu interior. A vazão é de 3,5 m3/s de água a 20 °C. A pá tem largura constante de 10 cm. Calcule a potência teórica desenvolvida.

Passo 1

Neste exercício foi te pedido a potência teórica desta turbina radial idealizada, ou seja, te pediu para determinar a potência de eixo gerada por uma turbina ideal. Quando se fala em uma turbomáquina ideal sempre podemos pensar nas equações de Euler das turbomáquina para fazermos os cálculos, que são equações baseadas na idealidade de uma turbomáquina.

Vamos então usar as equações de Euler.

Passo 2

Relembrando das equações de Euler das turbomáquinas, que a equação de potência para uma turbomáquina ideal é a seguinte

P = ρ Q ( u 2 V t 2 - u 1 V t 1 )

Onde,

-P é a potência de eixo desenvolvida pela turbina, neste caso;

-ρ é a densidade da água, 1000 kg/m3;

-Q é a vazão;

-u2 é a velocidade periférica na entrada;

-u1 é a velocidade periférica na saída;

-Vt2 é a velocidade circunferencial (tangencial) na entrada (2);

-Vt1 é a velocidade circunferencial (tangencial) na saída (1);

Vamos a seguir saber como determinar as velocidades

Passo 3

A velocidade periférica, u, é calculada pela seguinte expressão

u = ω r

Onde,

-r é o raio do rotor (externo, r2=1,2m, e interno, r1=0,8m);

-ω é a velocidade angular;

A velocidade angular, lembrando, é expresso em termos da rotação, n, da seguinte forma

ω = 2 π n 60

Então, a expressão da velocidade periférica agora é

u = 2 π n 60 r

Aplicando essa expressão na entrada, 2, e na saída do rotor

u 2 = 2 π n 60 r 2

u 1 = 2 π n 60 r 1

Onde,

-u2 é a velocidade periférica na entrada;

-u1 é a velocidade periférica na saída;

-r2 é o raio externo do rotor, r2=0,7m;

-r1 é o raio interno do rotor, r1=0,4 m;

-n é a rotação em rpm.

Calculando as velocidades periféricas

u 2 = 2 π ∙ 135 60 0,7 m s = 9,90 m s

u 1 = 2 π ∙ 135 60 0,4 m s = 5,65 m s

Passo 4

Para expressarmos as velocidades circunferenciais (tangenciais), Vt, vamos ter que avaliar a posição de entrada e de saída do fluido pela figura 11.87.

A velocidade circunferencial (ou tangencial) na entrada, V2, se relaciona matematicamente com a velocidade radial da entrada, W2, com a seguinte expressão

W 2 = V t 2 ∙ t a n ⁡ ( α )

Onde,

-W2 é a velocidade radial na entrada;

-Vt2 é a velocidade circunferencial na entrada;

-α é o ângulo referente a velocidade circunferencial na entrada do rotor, ângulo de V2, α=30º;

Isolando Vt2,

V t 2 = W 2 tan ⁡ α

Lembrando que 1/tan(α) é igual a cot(α), assim

V t 2 = W 2   c o t ⁡ ( α )

Para Vt1, que é a velocidade circunferencial na saída do rotor, podemos determina-lo pela seguinte equação

V t 1 = W 1 tan ⁡ θ

Onde,

-W1 é a velocidade radial na saída;

-Vt1 é a velocidade circunferencial na saída;

-θ é o ângulo referente a velocidade radial W1, θ=90º.

Passo 5

Vamos expressar matematicamente as velocidades radias

Velocidade radial na entrada

W 2 = Q A 2

Onde,

-W2 é a velocidade radial da água na entrada;

-Q é a vazão;

-A2 é a área da pá referente a entrada;

A área da pá é definida como

A 2 = 2 π r 2 b 2

Onde,

-r2 é o raio externo do rotor, r2=0,8m;

-b2 é a largura da pá.

Como foi dito que a largura da pá é constante, então

b 1 = b 2 = b = 10   c m = 0,1   m

Substituindo,

W 2 = Q 2 π r 2 b

Analogamente,

W 1 = Q 2 π r 1 b

Onde,

-r1 é o raio interno do rotor, r1=0,4 m;

-b é a largura da pá.

Passo 6

Definimos as expressões das velocidades radias. Vamos calcula-las

Para a velocidade radial da entrada, W2

W 2 = 3,5 m 3 s 2 π ( 0,7   m ) ( 0,1   m ) = 7,96 m s

Para a velocidade radial da saída, W1

W 1 = 3,5 m 3 s 2 π ( 0,4   m ) ( 0,1   m ) = 13,93 m s

Passo 7

Calculando as velocidades circunferenciais

-Vt2

V t 2 = W 2   c o t ⁡ ( α )

Aplicando os valores

V 2 = 7,96 m s cot ⁡ 30 = 13,8 m s

-Vt1

V t 1 = W 1 tan ⁡ θ

Aplicando os valores

V t 1 = W 1 tan ⁡ 90 = 0 ,   p o i s tan ⁡ ( 90 ) → ∞

Passo 8

Voltando na expressão da potência teórica

P = ρ Q u 2 V t 2 - u 1 V t 1

P = ρ Q u 2 V t 2

Agora é só aplicar os valores

P = 1000 k g m 3 3,5 m 3 s 9,90 m s 13,8 m s = 478170   W

P = 478,2   k W

Resposta

P = 478,2   k W

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