96 – Aplique os resultados do Problema P11.95 para determinar (a) o diâmetro ótimo do conduto forçado e (b) o diâmetro do injetor para uma altura de queda de 244 m e vazão de 151,42 m3/min, com um conduto de aço comercial de 457 m de comprimento.

A)

No ponto ótimo, pelo problema 11.95

E pela equação de Darcy-Weisbach para a perda carga por atrito no tubo

Onde,

-hp é a perda de carga por atrito na tubulação;

-f é o fator de atrito;

-LT é o comprimento da tubulação;

-DT é o diâmetro da tubulação;

-VTubo é a velocidade do fluido na tubulação;

-g é a constante da gravidade, g=9,81 m/2.

Isolando DT

A velocidade do fluido no tubo, VTubo, está relacionada com a vazão do fluido

Onde,

-Q é a vazão do fluido;

-ATubo é a área de seção transversal da tubulação (Tubo);

-DT é o diâmetro da tubulação;

-VTubo é a velocidade do fluido na tubulação;

Convertendo a vazão para m3/s

Isolando VTubo

Substituindo na Eq1

Calculando com os valores que já conhecemos

Precisamos agora encontrar o valor do fator de atrito para calcularmos DT.

Relembrando fator de atrito, este parâmetro depende de Reynolds (Re) e da rugosidade relativa (ε/D)

Para aço comercial, a rugosidade, ε, vale

Lembrando que a Eq. de Reynolds é

Onde,

-ReD é o número de Reynolds;

-ρ é a densidade do fluido;

-DT é o diâmetro da tubulação;

-VTubo é a velocidade do fluido na tubulação;

-μ é a viscosidade dinâmica do fluido (água), μ=0,001 kg/m.s;

Substituindo a Eq2 na Eq. de Reynolds

Calculando com os valores já conhecidos

Você pode ver que Re precisa de DT, mas não temos DT que é o que temos que achar. Então, Re depende de DT, f depende de Re e DT depende de f, não podemos dessa forma determinar diretamente o valor de nenhum nem outro. O que temos que fazer é usar um método iterativo para encontrar a solução para essas equações. Lembrando que um método iterativo você precisa dar um chute inicial para alguma das variáveis e a partir desse chute inicial você começa a calcular com as equações, pegando os valores calculados e atualizando o chute e recalculando novamente até que seja atingido uma convergência. Essa convergência você pode verificar da seguinte maneira: pegue o valor anterior calculado e diminua pelo novo valor calculado, estipule uma tolerância, ai quando essa diferença for menor que a tolerância você chegou em uma convergência.

Abaixo um passo a passo em forma de algoritmo:

• Algoritmo Resolução pelo método iterativo:

I – chute inicial para f (você pode olhar no diagrama de Moody a faixa de valores de f);

II – calcula DT pela equação

III – calcula Re pela equação

IV – calcula a rugosidade relativa para depois determinar o novo valor de f

IV – determina novo valor de f usando diagrama de Moody ou Eq. de Churchill

V – calcula novo valor de DT pela mesma equação;

VI – calcular a diferença (erro) percentual, ou decimal, entre o novo valor de DT com o valor anterior pela expressão

VII – verificar se erro é menor que a tolerância (estipular valor da tolerância, por exemplo uns 10-3% já está bom);

VIII – se o erro for maior que a tolerância, você volta a etapa III para uma nova iteração; (você vai continuar as iterações até que o erro seja menor que a tolerância)

Se você fizer este método iterativo à mão, vai levar algum trabalho. A melhor opção é usar um programa computacional, como o MATLAB, ou Python, ou até mesmo o EXCEL.

Para resolver eu usei o EXCEL, pois é o demais fácil acesso. Abaixo o print da forma que usei para fazer pelo EXCEL, seguindo o algoritmo antes mostrado.

Veja pela imagem acima que na iteração de nº 4 já temos um erro percentual de 0,000036%, e também veja que o valor de DT não se altera mais a partir dessa iteração. Portanto, houve uma convergência na iteração 4.

Logo, o diâmetro ótimo da tubulação é

Voltando novamente ao problema 11.95, vemos que para o diâmetro do injetor, Dj, no ponto ótimo a expressão ficou assim

Onde, f é o valor do fator de atrito também no ponto ótimo. Pelo print do EXCEL, vemos que o valor convergido de f é

Basta você aplicar os valores para determina-lo