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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 93

According to Torricelli’s theorem, the velocity of a fluid

draining from a hole in a tank is V

depth of water above the hole, as in Fig. P3.93. Let the hole

have area A

o and the cylindrical tank have cross-section

area Ab ≫ Ao. Derive a formula for the time to drain the

tank completely from an initial depth ho.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Aplicar a lei de conservação de massa em torno do volume de controle que envolve o tanque;

d d t ∫   ρ d v + m ˙ sai   = 0

Aqui, é a ρ densidade da água, é o t tempo necessário para drenar o tanque, é a d v mudança de volume e é a m ˙ sai   taxa de fluxo de massa na saída. Calcule a mudança no volume usando a fórmula;

d v = A b d h

Aqui, é a A b área transversal cilíndrica e é a d h mudança de profundidade. Calcular a vazão mássica na saída utilizando a fórmula;

m ˙ sai   = ρ A 0 2 g h

Aqui, é a A 0 área de seção transversal do buraco e é a g aceleração devido à gravidade.

Passo 2

Substitua a equação (2) e a equação (3) na equação (1);

d d t ∫   ρ A b d h + ρ A 0 2 g h = 0 ρ A b d h d t = - ρ A 0 2 g h d h h = A 0 A b 2 g d t

Integrar em ambos os lados com limites adequados,

  ∫ ϕ 0 0     d h h = ∫ 0 t     A 0 A b 2 g d t 2 h 0 = A 0 A b 2 g t t = 2 A b A 0 h 0 2 g

Portanto, a fórmula para o tempo para drenar o tanque completamente é t = 2 A b A 0 h 0 2 g .

Resposta

t = 2 A b A 0 h 0 2 g

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