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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 99

Água escoa através de um tubo de 50 mm de diâmetro que subitamente contrai-se para 25 mm. A queda de pressão através da contração é 3,45 kPa. Determine a vazão volumétrica.

Passo 1

Neste problema é pedido a vazão volumétrica de uma tubulação que sofe contração, conforme Figura abaixo:

Será utilizada a Equação da energia na forma:

p 1 ρ 1 + α V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ 2 + α V 2 2 2 + g z 2 + h l m

Sendo a perda de carga menor (de contração) definida como:

h l m = K V 2 2 2

Como hipótese e dados do enunciado tem-se que;

- regime permanente ( ∂ / ∂ t = 0 );

- escoamento horizontal ( z 1 = z 2 );

- escoamento incompressível ( ρ 1 = ρ 2   e ρ = 1000   k g / m 3 );

- α ≈ 1,0 ;

- D 1 = 50   m m ;

- D 2 = 25   m m ;

- p 1 - p 2 = 3,45   k P a .

Passo 2

Usando a Equação de Energia, em J/kg, entre as seções 1 e 2:

p 1 ρ 1 + α V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ 2 + α V 2 2 2 + g z 2 + h l m

p 1 ρ - p 2 ρ = α V 2 2 2 - α V 1 2 2 + g z 2 - g z 1 + h l m

p 1 - p 2 = ρ α V 2 2 - V 1 2 2 + ρ g z 2 - z 1 + ρ h l m

Sabendo a expressão de h l m , que z 1 = z 2 e α ≈ 1 :

p 1 - p 2 = ρ V 2 2 - V 1 2 2 + ρ K V 2 2 2

Passo 3

Como é buscada a vazão volumétrica é necessário obter a velocidade do escoamento, então escrevendo a velocidade V 1 em função de V 2 a partir da equação da continuidade:

Q 1 = Q 2

V 1 π D 1 2 4 = V 2 π D 2 2 4

V 1 = V 2 D 2 2 D 1 2

Passo 4

Reescrevendo a expressão dobtida no Passo 2:

p 1 - p 2 = ρ V 2 2 - V 2 D 2 2 D 1 2 2 2 + ρ K V 2 2 2

p 1 - p 2 = ρ V 2 2 - V 2 D 2 2 D 1 2 2 2 + ρ K V 2 2 2

p 1 - p 2 = ρ V 2 2 2 1 - D 2 2 D 1 2 2 + K

Passo 5

Isolando a velocidade V 2 2 da expessão obtida no Passo 4:

p 1 - p 2 = ρ V 2 2 2 1 - D 2 2 D 1 2 2 + K

V 2 2 = 2 p 1 - p 2 ρ 1 - D 2 2 D 1 2 2 + K

Então, a velocidade na seção 2 é:

V 2 = 2 p 1 - p 2 ρ 1 - D 2 2 D 1 2 2 + K

Passo 6

Sabendo que a relação de áreas A 2 / A 1 é dada por:

A 2 A 1 = π D 2 2 4 π D 1 2 4 = D 2 2 D 1 2

A 2 A 1 = 25 × 10 - 3 2 50 × 10 - 3 2 = 0,25

Então pela Figura 8.15 e conhecendo A 2 / A 1 = 0,25 , o coeficiente de perda para a constrição vale:

K = 0,4

Passo 7

Então, a velocidade V 2 será:

V 2 = 2 p 1 - p 2 ρ 1 - D 2 2 D 1 2 2 + K

V 2 = 2 × 3,45 × 10 3   1000 × 1 - 0,25 2 + 0,4

V 2 = 2,17   m / s

Passo 8

A vazão será dada por:

Q = V 2 A 2

Q = V 2 π D 2 2 4

Q = 2,17 × π × 25 × 10 - 3 2 4

Q = 1,07 × 10 - 3   m 3 / s

Ou ainda:

Q = 1,07   L / s

Resposta

Q = 1,07 × 10 - 3   m 3 / s

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