Água a 15   ° C ( ρ = 999,1   k g / m 3 e μ = 1,138 ⋅   10 - 3   k g / m ⋅ s ) escoa em regime permanente em um tubo horizontal com 0,30   c m de diâmetro e 4   c m de comprimento feito de aço inoxidável a uma taxa de 8   L / s . Determine (a) a queda de pressão, (b) a perda de carga e (c) o requisito de potência de bombeamento para superar essa queda de pressão.

Passo 1

Antes de começar a questão, devemos notar que o diâmetro e o comprimento do tubo informado pelo enunciado da questão está diferente do diâmetro e do comprimento do tubo informado pela figura P8-31. Para conseguirmos fazer o exercício, escolhemos usar os dados da ffigura ao invés dos dados do texto.

A questão pede primeiro para a gente calcular a queda de pressão Δ P através do tubo. O primeiro passo para calcular o Δ P da água através do tubo é calcular o número de Reynolds R e do escoamento. Se o escoamento for laminar, usaremos uma fórmula para Δ P , se ele for turbulento, usaremos outra. A equação do número de Reynolds segue abaixo.

R e = ρ ⋅ V m é d ⋅ D μ

onde ρ é a densidade do fluido (que vale 999,7   k g / m 3 ), μ é a viscosidade do fluido (que vale 1,138 ⋅ 10 - 3   k g /   m ⋅ s ), D (que vale 4   c m ou 0,04   m ) é o diâmetro do tubo e V m é d é a velocidade média do escoamento. Podemos calcular a velocidade média dividindo a vazão volumétrica V ˙ dada pelo enunciado ( V ˙ = 8   L / s ou V ˙ = 0,008   m 3 / s ) pela área A da seção transversal do tubo ( A vale π ⋅ D 2 / 4 , porque o tubo é circular).

V m é d = V ˙ A       ⟹       V m é d = V ˙ π ⋅ D 2 4       ⟹       V m é d = 0,008 π ⋅ 0,04 2 4       ⟹       V m é d = 6,36 6   m / s

Substituindo os dados na fórmula de R e , achamos:

R e = ρ ⋅ V m é d ⋅ D μ       ⟹       R e = 999,7 ⋅ 6,36 6 ⋅ 0,04 1,138 ⋅ 10 - 3       ⟹       R e = 223694

Quando o R e é menor que 2300 , o escoamento é laminar. Quando R e é maior que 4000 , ele é turbulento. Vemos que no nosso caso, R e é maior que 4000 . Logo, o escoamento da água é turbulento.

Passo 2

A fórmula da queda de pressão se encontra abaixo (equação 8-21 do livro).

Δ P = f ⋅ L D ⋅ ρ ⋅ V m é d 2 2

onde f é o fator de atrito e L é o comprimento do tubo (que vale 30   m ).

Para calcular esse fator de atrito em um escoamento turbulento, reorgazinamos a equação 8-51 do livro feita para calcular fator de atrito f de escoamentos turbulentos.

1 f = - 1,8 ⋅ log ⁡ 6,9 R e + ε D 3,7 1,11       ⟹       f = 1 - 1,8 ⋅ log ⁡ 6,9 R e + ε D 3,7 1,11 2

onde ε é o tamanho da rugosidade do tubo. O valor de ε é encontrado na tabela 8-2 do livro para tubos de vários materiais. Como no nosso caso o tubo é feito de aço inoxidável, ε vale:

ε = 0,002   m m       ⟹       ε = 0,000002   m

Substituindo os dados na fórmula de fator de atrito f , encontramos:

f = 1 - 1,8 ⋅ log ⁡ 6,9 R e + ε D 3,7 1,11 2     ⟹       f = 1 - 1,8 ⋅ log ⁡ 6,9 223694 + 0,000002 0,04 3,7 1,11 2

f = 0 , 0155 3

Colocando esse valor na fórmula de Δ P , achamos:

Δ P = f ⋅ L D ⋅ ρ ⋅ V m é d 2 2       ⟹       Δ P = 0 , 0155 3 ⋅ 30 0,04 ⋅ 999,7 ⋅ 6,366 2 2       ⟹       Δ P = 2 35942   P a

Passo 3

Sabendo quanto vale Δ P , a questão pede agora para a gente calcular a perda de carga h L do escoamento do tubo. A fórmula para calcular h L em função de Δ P é mostrada abaixo (equação 8-24).

h L = Δ P ρ ⋅ g

Substituindo os valores que temos nessa equação, encontramos:

h L = Δ P ρ ⋅ g       ⟹       h L = 2 35942   999,7 ⋅ 9,81       ⟹       h L = 24,06   m

Passo 4

Por fim, o problema pede para a gente calcular o requisito de potência de bombeamento W ˙ para superar essa queda de pressão que calculamos Δ P = 188208   P a . A equação de potência de bombeamento segue abaixo.

W ˙ = V ˙ ⋅ Δ P

onde V ˙ é a vazão volumética de água através do tubo.

Usando os dados que temos:

W ˙ = 0,008 ⋅ 2 35942       ⟹     W ˙ = 1 888   W

Resposta

a   Δ P = 2 35942   P a

b   h L = 24,06   m

c   W ˙ = 1888   W

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