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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 23

Água a 60 ° C escoa para a direita entre duas grandes placas planas. A placa inferior se move para a esquerda com velocidade de 0,3   m / s ; a placa superior está parada. O espaçamento entre as placas é 3   m m e o escoamento é laminar. Determine o gradiente de pressão necessário para produzir vazão resultante zero em uma seção transversal.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Este problema nos pede para determinarmos o gradiente de pressão necessário para produzir vazão resultante zero. Primeiro, temos:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ u p   d ∀ + ∫ μ p V →   d A

τ = τ y x = u d u d y

Com isso, temos que F S x = 0 . Substituindo:

∂ p ∂ x = d τ y x d y = d d y μ d u d y = μ d 2 u d y 2 d 2 u d y 2 = 1 μ ∂ p ∂ x  

Integrando duas vezes:

u = 1 2 μ ∂ p ∂ x y 2 + c 1 y + c 2

Para as condições de contorno, temos:

y = 0 u = - U c 2 = - U

E também:

y = b u = 0 0 = 1 2 μ ∂ p ∂ x b 2 + c 1 b - U c 1 = U b - 1 2 μ ∂ p ∂ x b

Logo:

u = 1 2 μ ∂ p ∂ x y 2 - b y + U y b 1

Passo 2

Agora, para calcularmos a razão volumétrica, temos:

Q w = ∫ 0 b u   d y Q w = ∫ 0 b 1 2 μ ∂ p ∂ x y 2 - b y + U y b - 1 d y = - 1 12 μ ∂ p ∂ x b 3 - U b 2

Para Q = 0 , μ = 4,63 × 10 - 4   N s / m 2 , temos:

∂ p ∂ x = - 6 U μ b 2 = - 6 × 0,3 m s × 4,63 × 10 - 4 N s m 2 × 1 0,003 2   m 2 = - 92,6 N m 3

Resposta

∂ p ∂ x = - 92,6 N m 3

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