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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 38

Uma bomba de arrasto viscoso é feita de um invólucro estacionário com um tambor rotativo bem ajustado no seu interior. A folga é pequena comparada com o diâmetro do tambor, de modo que o escoamento no espaço anular entre o invólucro e o tambor pode ser tratado como um escoamento entre placas paralelas. O fluido é arrastado em volta do anel por forças viscosas. Avalie as características de desempenho da bomba de arrasto (diferencial de pressão, potência requerida e eficiência) como funções da vazão volumétrica. Considere que a profundidade normal ao diagrama é b.

Passo 1

Sabendo que o escoamento pode ser tratado como entre placas paralelas, a vazão por unidade de comprimento que se tem é:

Q b = U a 2 - 1 12 μ ∂ p ∂ x a 3

Como a velocidade é angular U = R ω e o gradiente de pressão pode ser a variação da pressão ao longo de um comprimento L, ou seja ∂ p / ∂ x = ∆ p / L .

Substituindo, temos:

Q b = a R ω 2 - 1 12 μ ∆ p L a 3

∆ p = a R ω 2 - Q b 12 μ L a 3

Isolando o ∆ p , o diferencial de pressão é igual:

∆ p = 6 μ L R ω a 2 1 - 2 Q a b R ω

Passo 2

Sabendo que a potência é P = T ω e que o torque é T = F . d , temos:

T = F . d = τ y x . R . b . L

Sabendo que y = a   e lembrando que:

τ x y = μ U a + a ∂ p ∂ x y a - 1 2

τ x y = μ R ω a + a 2 ∆ p L

E substituindo em P, temos:

P = R . b . L . ω μ R ω a + a 2 ∆ p L

Substituindo o ∆ p que encontramos anteriormente, temos:

P = R . b . L . ω μ R ω a + a 2 L 6 μ L R ω a 2 1 - 2 Q a b R ω

Simplificando a equação:

P = R . b . L . ω μ R ω a + 3 μ R ω a 1 - 2 Q a b R ω

P = R . b . L . ω 4 μ R ω a 1 - 2 Q a b R ω

P = 4 . R 2 . b . L . ω 2 μ a 1 - 2 Q a b R ω

Logo, a potência requerida é de:

P = R 2 . b . L . ω 2 μ a 4 - 8 . Q a b R ω

Passo 3

Sabendo que a potência da bomba é Q . ∆ p , a eficiência da bomba é:

η = Q . ∆ p P = 6 μ L R ω a 2 1 - 2 Q a b R ω R 2 . b . L . ω 2 μ a 4 - 8 . Q a b R ω

Simplificando:

η = Q 6 μ L R ω a 2 a R 2 . b . L . ω 2 μ 1 - 2 Q a b R ω 4 - 8 . Q a b R ω

η = 6 a Q R b ω 1 - 2 Q a b R ω 4 - 8 . Q a b R ω

Logo, a eficiência da bomba é:

η = 6 Q a R b ω 1 - 2 Q a b R ω 4 - 8 . Q a b R ω

Resposta

∆ p = 6 μ L R ω a 2 1 - 2 Q a b R ω   ;   P = R 2 . b . L . ω 2 μ a 4 - 8 . Q a b R ω   ;   η = 6 Q a R b ω 1 - 2 Q a b R ω 4 - 8 . Q a b R ω  

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