Em uma aplicação específica que envolve o escoamento de um fluido a uma vazão m ˙ através de um tubo circular com comprimento L e diâmetro D, sabe-se que o fluxo térmico na superfície apresenta uma variação senoidal com x, que tem a forma   q " s x = q " s , m s e n π x L . O fluxo máximo, q " s , m , é uma constante conhecida e o fluido entra no tubo a uma temperatura também conhecida, T m , e n t . Supondo o coeficiente convectivo constante, como a temperatura média do fluido e a temperatura superficial variam com x?

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaalaa galerinha!!

Bora continuar?!

A equação 8,39 nos trás o gradiente da temperatura média, ok?

d T m d x = q " s P m ˙ c p

O problema nos disse que:

q " s x = q " s , m s e n π x L

E lembrando que para um tubo circular:

P = π D

Então:

d T m d x = q " s , m s e n π x L π D m ˙ c p

Integrando:

∫ T m ,   e n t T m ( x ) d T m = π D q " s , m m ˙ c p ∫ 0 x s e n π x L . d x

T m x - T m ,   e n t = π D q " s , m m ˙ c p L π - cos ⁡ π x L x 0

T m x = T m ,   e n t - L D q " s , m m ˙ c p 1 -   cos ⁡ π x L

Achamos a temperatura média do fluido, certo?

Mas ainda precisamos da temperatura da superfície!!

Passo 2

A lei do resfriamento nos diz que:

q " = h ( T s - T m )  

Isolando T s :

T s = T m + q " h

Substituindo T m e q " :

T s x = T m ,   e n t - L D q " s , m m ˙ c p 1 -   cos ⁡ π x L + q " s , m h s e n π x L

Essa foi de boassa, não foi?

Resposta

T m x = T m ,   e n t - L D q " s , m m ˙ c p 1 -   cos ⁡ π x L

T s x = T m ,   e n t - L D q " s , m m ˙ c p 1 -   cos ⁡ π x L + q " s , m h s e n π x L

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