Enunciado

Considere um tubo circular com diâmetro D e comprimento L, com uma vazão mássica m ˙ .

  1. Para condições de fluxo térmico constante, deduza uma expressão para a razão entre a diferença de temperaturas entre a parede do tubo na sua saída e a temperatura de entrada, T s ( x   =   L )   –   T m , e n t , e a taxa total de transferência de calor para o fluido, q. Represente o seu resultado em termos de m ˙ , L, do número de Nusselt local na saída do tubo, N u D ( x   =   L ) , e das propriedades relevantes do fluido.
  2. Repita a parte (a) para condições de temperatura na superfície constante. Represente seus resultados em termos de m ˙ , L, do número de Nusselt médio da entrada à saída do tubo, N u D - , e das propriedades relevantes do fluido.

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaalaa galerinha!!

Bora continuar?!

O enunciado da letra (a) já dar medo, mas calma, calma, não criemos pânico !!

A Lei de Newton do Resfriamento nos trás que:

q " = h ∆ T = h ( T s ( x   =   L )   –   T m ( x = L )   )  

Onde q " é o fluxo de calor, h o coeficiente de calor convectivo, T s ( x   =   L ) a temperatura do tubo e T m ( x = L ) a temperatura média, no ponto x = L !

Então:

T s x = L –   T m ( x = L ) = q " h      

Quando nós fazemos o balanço de energia obtemos uma relação bem similar:

T m x = L –   T m , e n t = q m ˙ c p

Onde T m , e n t a temperatura na entrada, m ˙ a vazão mássica e c p o calor específico.

Substituindo T m x = L do balanço energético na Lei de Newton:

T s x = L – T m , e n t + q m ˙ c p = q " h

T s x = L - T m , e n t = q " h + q m ˙ c p

Lembrando da relação:

q = q " πDL → q " = q / πDL    

E colocando q " na equação:

T s x = L - T m , e n t = q π DL h + q m ˙ c p

T s x = L - T m , e n t q = 1 π DL h + 1 m ˙ c p

Meio caminho andado, certo?

Mas o que nós queremos é esta diferença de temperatura em função de Nusselt, e para isso vamos lembrar que:

h = N u D k D

Portanto:

T s x = L - T m , e n t q = 1 π D L N u D k D + 1 m ˙ c p

T s x = L - T m , e n t q = 1 π L N u D k + 1 m ˙ c p

Chegamos ao que queríamos, certo?

Agora nós temos a diferença de temperatura, T s x = L - T m , e n t , e o calor, q , em termos de m ˙ ,   L   e   N u D .

Terminamos a letra (a) e vamos seguindo pra (b)!!

Passo 2

Na letra (b) nós vamos repetir a parte (a) para condições de temperatura na superfície constante.

Quando a temperatura da superfície é constante podemos usar a seguinte relação:

T s - T m x = L T s - T m , e n t = e - π D h - L m ˙ c p

Onde h - é o coeficiente convectivo médio.

Se olharmos o balanço de energia do Passo 1 e substituirmos T m x = L :

T s - T m , e n t + q m ˙ c p T s - T m , e n t = e - π D h - L m ˙ c p

T s - T m , e n t - q m ˙ c p T s - T m , e n t = e - π D h - L m ˙ c p

1 - q m ˙ c p T s - T m , e n t = e - π D h - L m ˙ c p

Similar ao coeficiente convectivo, h , o coeficiente médio é dado por:

h - = N u D - k D

Substituindo:

1 - e - π D N u D - k D L m ˙ c p = q m ˙ c p T s - T m , e n t

T s - T m , e n t = q m ˙ c p 1 - e - π L N u D - k m ˙ c p

Reorganizando :

T s - T m , e n t q = 1 m ˙ c p 1 - e - π L N u D - k m ˙ c p

Beleza !! Agora nós achamos a equação da diferença de temperatura para as condições de temperatura constante em função da vazão mássica, do comprimento do tubo e do número de Nusselt médio!!

Conseguimos, a partir das informações que temos, achar uma nova maneira de calcular a diferença de temperatura e a transferência de calor!

Legal, não é?

Resposta

  1. T s x = L - T m , e n t q = 1 π L N u D k + 1 m ˙ c p ;
  2. T s - T m , e n t q = 1 m ˙ c p 1 - e - π L N u D - k m ˙ c p .
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