Enunciado

Seja um bastão cilíndrico de combustível nuclear, com comprimento L e diâmetro D, que se encontra no interior de um tubo concêntrico. Água pressurizada escoa na região anular entre o bastão e o tubo a uma vazão m ˙ , e a superfície externa do tubo encontra-se isolada termicamente. Geração térmica ocorre no interior do bastão combustível e sabe-se que a taxa

volumétrica de geração varia senoidalmente com a distância ao longo do bastão. Isto é, q ˙ ( x )   =   q 0 ˙   s e n π x L , com q 0 ˙   W m 3 sendo uma constante. Pode-se admitir um coeficiente de transferência de calor h uniforme entre a superfície do bastão e a água.

  1. Obtenha expressões para o fluxo térmico local q ″   ( x ) e para a transferência de calor total q do bastão combustível para a água.
  2. Obtenha uma expressão para a variação da temperatura média T m ( x ) da água com a distância x ao longo do tubo.
  3. Obtenha uma expressão para a variação da temperatura superficial no bastão T s ( x ) com a distância x ao longo do tubo. Desenvolva uma expressão para determinar a posição x na qual essa temperatura é máxima.

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaalaa galerinha!!

Bora continuar?!

Olhando mais de perto o que está acontecendo:

Para começar vamos fazer um balanço energético para o bastão combustível, percebam que ele gera energia térmica e transmite calor para a água:

d q = E g ˙

Lembrando que:

q = q " π D x

Derivando:

d q = q " π D . d x

Sabemos também que a energia gerada é dada por:

q ˙ x = q 0 ˙   s e n π x L

Como estamos analisando para um determinado volume de controle:

E g ˙ = q 0 ˙   s e n π x L π D 2 4 d x

Portanto:

q " π D . d x = q 0 ˙   s e n π x L π D 2 4 d x

q " = q 0 ˙   s e n π x L D 4

Achamos uma das respostas, certo?

Mas também queremos achar a transferência de calor total q do bastão combustível para a água.

Acabamos de ver que:

d q = q " π D . d x

Substituindo q " :

d q = q 0 ˙   s e n π x L D 4 π D . d x

Integrando:

∫ d q = ∫ 0 L q 0 ˙   s e n π x L D 4 π D . d x

q = q 0 ˙ π D 2 4 ∫ 0 L s e n π x L . d x

q = q 0 ˙ π D 2 4 . - L π cos ⁡ π x L L 0

q = q 0 ˙ π D 2 4 . - L π cos ⁡ π + L π cos ⁡ 0

q = q 0 ˙ L D 2 2

E chegamos ao fim da letra (a), mas já vamos seguir pra (b) !!

Passo 2

Na letra (b) queremos achar uma expressão para a variação da temperatura média T m ( x ) da água com a distância x ao longo do tubo.

Aqui nós faremos um novo balanço, para a água:

m ˙ c p T m + d q = m ˙ c p ( T m + d T m )

d q = m ˙ c p d T m

Já sabemos d q , né?

q 0 ˙   s e n π x L D 4 π D . d x = m ˙ c p d T m

q 0 ˙   s e n π x L π D 2 4 . d x = m ˙ c p d T m

Isolando a temperatura:

d T m = π D 2 q 0 ˙ 4 m ˙ c p × s e n π x L d x

E integrando:

∫ T m ,   e n t T m ( x ) d T m = π D 2 q 0 ˙ 4 m ˙ c p × ∫ 0 x s e n π x L d x

T m x - T m ,   e n t = L D 2 q 0 ˙ 4 m ˙ c p - cos ⁡ π x L x 0

T m x = T m ,   e n t + L D 2 q 0 ˙ 4 m ˙ c p 1 - cos ⁡ π x L

E é isso ai !! Boora pra (c)?

Passo 3

Na (c) e última letra nós precisamos de uma expressão para a variação da temperatura superficial no bastão T s ( x ) com a distância x ao longo do tubo.

A lei do resfriamento nos diz que:

q " = h ( T s - T m )  

Isolando T s :

T s = T m + q " h

Substituindo T m e q " :

T s ( x ) = T m ,   e n t + L D 2 q 0 ˙ 4 m ˙ c p 1 - cos ⁡ π x L + q 0 ˙ D 4 h   s e n π x L

E como achamos a temperatura máxima?

O cálculo já diz, não é?

A temperatura máxima acontecerá quando d T s x d x = 0 :

d T s x d x = L D 2 q 0 ˙ 4 m ˙ c p π L s en ⁡ π x L + q 0 ˙ D 4 h π L cos ⁡ π x L = 0

1 h cos ⁡ π x L = - D L m ˙ c p s en ⁡ π x L

- m ˙ c p h D L = tg ⁡ π x L

π x L = tan - 1 ⁡ - m ˙ c p h D L

E isolando o que nós queremos:

x = L π tan - 1 ⁡ - m ˙ c p h D L

Puxado, mas nada complicado, não é?

Resposta

  1. q " = q 0 ˙   s e n π x L D 4     |     q = q 0 ˙ L D 2 2 ;
  2. T m x = T m ,   e n t + L D 2 q 0 ˙ 4 m ˙ c p 1 - cos ⁡ π x L ;
  3. T s x = T m ,   e n t + L D 2 q 0 ˙ 4 m ˙ c p 1 - cos ⁡ π x L + q 0 ˙ D 4 h   s e n π x L   |     x = L π tan - 1 ⁡ - m ˙ c p h D L .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um pré-aquecedor de óleo é constituído por um único tubo de 10m m de diâmetro e 5m de comprimento, com sua superfície mantida a 175 ° C por gases de combustão. O óleo de motor (novo) entra a 75 ° C .
Óleo de motor é aquecido ao escoar através de um tubo circular com diâmetro D = 50m m e comprimento L = 25m , cuja superfície é mantida em 150 ° C .(a) Se a vazão de escoamento e a temperatura do óleo
A seção de evaporação de uma bomba de calor está instalada no interior de um grande tanque de água, que é usado como uma fonte de calor durante o inverno. À medida que a energia é extraída da água, el
Um produto alimentício líquido é processado em um esterilizador de fluxo contínuo. O líquido entra no esterilizador a uma temperatura e a uma vazão de T m ,e n t ,h = 20 ° C e m ˙ = 1k g / s , respect
Óleo de motor escoa a uma vazão de 1k g / s em um tubo reto com diâmetro de 5m m . O óleo tem uma temperatura na entrada de 45 ° C e deseja-se aquecê-lo até uma temperatura média na saída do tubo de 8