Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 64
Uma barra comprida cilíndrica, com 40 mm de diâmetro, fabricada em safira (óxido de alumínio) e inicialmente a uma temperatura uniforme de 800 K, é resfriada subitamente por um fluido a 300 K, que mantém um coeficiente de transferência de calor de 1600 W/(m2 · K). Após 35 s, ela é enrolada com uma manta isolante, de tal modo que não mais perde calor. Qual será a temperatura da barra após um longo período de tempo?
Passo 1
Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.
Temos uma barra cilíndrica de óxido de alumínio sendo resfriada por um fluido. Temos dois processos pra analisar, que vou detalhar mais aí embaixo.
Em primeiro lugar, temos uma transferência de calor do cilindro para o fluido que dura 35 s. Se a gente supor tempos muito longos () podemos calcular a temperatura adimensional no centro () a partir da equação:
Sendo e coeficientes que podem ser calculados a partir da Tabela 5.1, o adimensional Número de Fourier, a temperatura no centro do cilindro, a temperatura inicial e a temperatura do ar.
Nosso segundo processo ocorre quando o cilindro é isolado. Devemos calcular a quantidade calor transferida do cilindro em 35 s, que, com o isolamento, ficará igual para um longo período de tempo.
A equação para calcular a quantidade de calor transferida para um cilindro é:
Vamos agora fazer um balanço de energia:
Sendo:
, pois a energia permanece a mesma depois do isolamento;
, que é a transferência de calor inicial;
, que é a energia transferida após um longo período de tempo, com sendo a temperatura do cilindro após um longo período de tempo.
Assim, no fim da questão, devemos calcular .
Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:
Passo 2
Primeiro, devemos calcular o número de Biot para o problema:
Vamos agora na Tabela 5.1 para calcular os valores dos coeficientes de e parao cilindro. Como podemos ver na tabela:
Vamos calcular o número de Fourier:
E agora podemos finalmente calcular a temperatura adimensional no centro do cilindro:
Passo 3
Agora, vamos calcular a quantidade de calor transferida:
A função é a Função de Bessel de Primeira Ordem, e seu valor pode ser encontrado na Tabela B.4 (página 654).
Como não temos um valor de devemos interpolar e :
Portanto, temos que a quantidade de calor transferida é:
Passo 4
Agora, vamos finalizar a questão calculando a temperatura da barra após um longo período de tempo.
Primeiro, vamos abrir aquele balanço de energia que apresentei no começo:
Vamos dividir tudo por :
Vamos lembrar que :
Vamos, então, reorganizar a equação para explicitar :
Fechou? ;)
Resposta
A temperatura da barra após um longo período de tempo é .