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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 72

Um fabricante de sensores para fluxo térmico, como o ilustrado no Problema 1.12, afirma que a constante de tempo para uma resposta de 63,2% é de T = [ Ad' pcp )lifk, onde p, cpc k são as

propriedades termofísicas do material do sensor e d é sua espessura. Sem saber a origem dessa relação, a sua tarefa é modelar o sensor levando em consideração os dois casos extremos ilustrados a seguir. Em ambos os casos, o sensor, inicialmente a uma temperatura de T„é exposto a uma súbita mudança na sua temperatura na superfície, 7(0,0 — 7). No caso (a), o lado de trás do sensor é isolado e no caso (b) o sensor está embutido em um sólido semi-infinito que possui propriedades termofísicas idênticas às do sensor. Desenvolva expressões para prever a constante de tempo do sensor para os dois casos e compare essas expressões com a relação dada pelo fabricante. Qual conclusão você pode tirar dessa análise no que diz respeito à resposta transiente dos sensores para diferentes aplicações?

Passo 1

Iai gente! Prontos pra detonar mais uma questão comigo? Bora lá!

Nosso primeiro passo é determinar o número de Fourier que será usado pra resolver os itens! A constante de tempo também será usada e pode ser definida como:

τ = 4 d 2 ρ c p / π 2 k

Usamos isso para determinar o número de Fourier da seguinte forma:

F o = α τ d 2

Que é equivalente a dizer que:

F o = k ρ c p * τ d 2 = 0,4053

Agora podemos ir para os itens!

  1. Considerando que o sensor tem sua parte de trás isolada, a temperatura da superfície e a temperatura posterior serão T s   e   T ( 0 , t ) , respectivamente. Para o esquema abaixo, temos que:

    2. θ o * = T 0 , τ - T s T i - T s

    Ou seja, temos que θ o * = 0,368 .

    Da equação 5.41 do livro, temos que θ o * = C 1 exp ⁡ ( - ζ 1 2 F o ) .

    Usaremos a tabela 5.1 do livro para determinar o valor de ζ , que de acordo com nossas condições, nos dá que ζ = 1,5552   r a d e por sua vez, também, C 1 = 1,2731 .

    Portanto, temos que:

    0,368 = 1,2731 exp ⁡ - 1,5552 2 * F o a

    Podemos então determinar nossa variável como:

    F o a = 0,513

    Passo 2

  2. Para o sensor envolvido em um meio semi-infinito com as mesmas propriedades termofísicas que eles, usando a tabela 5.7 (caso 1) e a Eq. 5.57, temos que:

T x , τ - T s T i - T s = 0,368

Logo, temos que:

0,368 = erf ⁡ d 2 α τ 1 / 2

Desenvolvendo a função erf, temos que:

d 2 α τ 1 / 2 = 0,3972

Podemos então determinar que:

F o b = α τ d 2

Ou seja:

F o b = 1,585

Espero que tenham curtido! Nos vemos na próxima questão, galera!

Resposta

  1. F o a = 0,513

  2. F o b = 1,585

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