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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 63

Um cabo sólido de comprimento L = 1 m e diâmetro igual a D = 40 m m é exposto à condições de convecção caracterizadas por h = 55   W / ( m 2 K ) e T ∞ = 20 ° C . Determine a máxima corrente elétrica que pode ser transportada pelo cabo, se ele for feito de cobre puro, alumínio puro ou estanho puro. Calcule as temperaturas mínimas do fio. Considerando que, a resistividade elétrica para o cobre e para o alumínio nos seus respectivos pontos de fusão é ρ e = 10 × 10 - 8 Ω . m E para o estanho, no seu respectivo ponto de fusão, é ρ e = 20 × 10 - 8 Ω . m .

Passo 1

Eaaaiii jovem... Chega mais, bora juntos! Esse exercício é um bocado chatinho, mas com calma a gente acaba com ele. Bora!

Repare que teremos aqui, uma única resistência, a convectiva.

A convectiva podemos obter:

R c o n v = 1 h A

Iremos desconsiderar a resistência condutiva, visto que iremos assumir um cilindro de parede fina, havendo somente a convecção entre essa parede e o ambiente externo.

Se você se lembrar:

q ˙ = h   A   T s - T ∞

Mas, sabemos também que:

q ˙ = I 2 R e V

Onde,

R e = ρ e L A

Passo 2

Com isso, podemos assumir para cada material, que eles estejam na sua temperatura de fusão (podemos consultar essa temperatura na tabela A.1) e então acharemos a corrente que passa por cada fio:

I 2 = A 2 V h T s - T ∞ ρ e   L

Vamos a isso então:

  1. Para cobre puro ( T s = 1358 K ) :

    2. I 2 = π 0,02 2 2 π 0,02 2   1 55 1358 - 293,15 10 × 10 - 08   1

    Teremos:

    I = 1162,2 = 34,09   A

  2. Alúminio Puro T s = 933 K :

    3. I 2 = π 0,02 2 2 π 0,02 2   1 55 933 - 293,15 10 × 10 - 08   1

    I = 698,3 = 26,42 A

    E finalmente:

  3. Estanho T s = 505 K :

I 2 = π 0,02 2 2 π 0,02 2   1 55 505 - 293,15 2 0 × 10 - 08   1

Teremos:

I = 115,61 = 10,75 A

Shoow de bola! Tá comigo?? Ainda falta uma coisinha.

Passo 3

O exercício pede ainda, para encontrarmos a menor temperatura nos cabos para cada um dos elementos.

Bom, se assumirmos que a taxa de transferência de calor é constante, podemos calcular da seguinte forma:

T s = T ∞ + q ˙ r o 2 h

E de posse de cada uma das correntes elétricas, podemos substituir:

T s = T ∞ + I 2 R e r V 2 h = T ∞ + I 2 ρ e r A V 2 h

Vamos lá então:

  1. Cobre puro:

    2. T s = 293,15 + 0,01338 = 293,16 K

  2. Alúminio puro:

    3. T s = 293,158 K

    E

  3. Estanho:

T s = 293,052 K

Sendo essas as temperaturas mínimas para cada cabo. Chatinho né?! Mas acabou! É só partir para a próxima!!

Resposta

Portanto, as correntes e as menores temperaturas em cada tipo de cabo:

  1. Cobre: I = 34,09 A e T s = 20,01 ° C
  2. Aúminio: I = 26,42 A e T s = 20,008 ° C
  3. Estanho: I = 10,75 A e T s = 19,902 ° C
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