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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 54

Uma camada limite de ar padrão, em desenvolvimento sobre uma placa plana, é mostrada na Fig 9.18. O escoamento de corrente livre fora da camada-limite não é perturbado com velocidade U = 50   m / s . A placa tem 3 m de largura perpendicular ao diagrama. Considere que o escoamento na camada limite é turbulento, com perfil de velocidade de potência 1 / 7 e que δ = 19   m m na superfície b c . Calcule a vazão mássica através da superfície a d e o fluxo de massa através da superfície a b . Avalie o fluxo de quantidade de movimento segundo x através da superfície b c .   Avalie a força de arrasto exercida sobre a placa plana entre d e c. Estime a distância a partir da borda de ataque na qual a transição de laminar para turbulento pode ser esperada.

Passo 1

Vamos listar o que a gente precisa fazer:

- calcular a vazão mássica através da superfície a d :

m ˙ a d = ρ Q a d

- calcular o fluxo de massa através da superfície a b (   m ˙ a b ) . A gente pode fazer isso pela conservação de massa:

∫ S C ρ v r cos ⁡ θ d A = 0

- avaliar o fluxo de quantidade de movimento segundo x através da superfície b c :  

m f b c = ∫ S C u ρ V → ⋅ d A

- avaliar a força de arrasto exercida sobre a placa plana entre d e c: F D

- estimar a distância a partir da borda de ataque na qual a transição de laminar para turbulento pode ser esperada:   x c r í t i c o

E enunciado dá umas informações para gente:

- escoamento turbulento

- largura: b = 3   m

- perfil de velocidade de lei de potência 1 / 7

- velocidade de corrente livre: U = 50   m / s

- expessura de perturbação em b c : δ = 19   m m

- ar-padrão: ρ = 1,21 k g / m 3 e μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m

Vamos assumir também que o escoamento é permanente, que não há forças produzidas por pressão e que o fluxo é uniforme é a b . Vamos começar!

Passo 2

O enunciado diz que a velocidade em a d não é perturbado e U = 50   m / s , então a gente pode dizer que:

m ˙ a d = - ρ Q a d = - ρ U A a d = - 1,21 ⋅ 50 ⋅ 3 ⋅ 0,019 = - 3,45   k g / s

Ela é negativa porque tá entrando na superfície, belezinha?

Passo 3

Vamos usar a conservação de massa para achar m ˙ a b :

∫ S C ρ v r cos ⁡ θ d A = 0

m ˙ a b + m ˙ a d + m ˙ b c = 0

m ˙ a b = 3,45 - ∫ 0 δ ρ u b d x

A gente tem o perfil de velocidade:

u U = y δ 1 7

m ˙ a b = 3,45 - ρ b U δ 1 7 ∫ 0 δ y 1 7 d x = 3,45 - ρ b U δ 1 7 ⋅ 7 8 δ 8 7 = 3,45 - 7 8 ρ b U δ

m ˙ a b = 0,4 326   k g / s

Passo 4

Para o fluxo da quantidade de movimento a gente usa essa expressão:

m f b c = ∫ S C u ρ V → ⋅ d A = ∫ 0 δ ρ u 2 b d x

m f b c = ∫ 0 δ ρ U 2 y δ 2 7 b d x = ρ U 2 b δ 2 7 ∫ 0 δ y 2 7 d y

m f b c = 7 9   ρ U 2 b δ = 134,1 1 k g ⋅ m / s 2

Passo 5

Podemos usar a conservação de quantidade de movimento para achar

- F D = - m f a d + m f b c + m f a b

- F D = - U ρ U δ b + 134,11 + U ⋅ m ˙ a b

F D = 16,7   N

Passo 6

Achar o x de transição é achar, x c r í t i c o :

R e c r í t i c o = 5 ⋅ 10 5 = ρ U x c r í t i c o μ

x c r í t i c o = 0,1 50   m

Resposta

m ˙ a d = - 3,45   k g / s

m ˙ a b = 0,4326   k g / s

m f b c = 134,11 k g ⋅ m / s 2

F D = 16,7   N

x c r í t i c o = 0,150   m

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