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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 11

9.11 Uma aproximação para o perfil de velocidade em uma camada-limite laminar é

u U = 3 2 y δ - 1 2 y δ 3

Esta expressão satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da camada-limite laminar? Avalie δ * / δ   e θ / δ   .

Passo 1

As condições de contorno são:

u 0 = 0

d u d y y = δ = 0

Como:

u y = U 3 2 y δ - 1 2 y δ 3

E a derivada:

d u d y = U 3 2 1 δ - 3 2 y 2 δ 3

Passo 2

Agora conferimos:

Em y = 0 :

u 0 = U 3 2 0 δ - 1 2 0 δ 3

u 0 = 0

Em y = δ :

d u d y y = δ = U 3 2 1 δ - 3 2 δ 2 δ 3

d u d y y = δ = 0

Portanto, satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da camada-limite laminar.

Passo 3

Para δ * :

δ * = ∫ 0 ∞ 1 - u U d y = ∫ 0 δ 1 - u U d y

δ * = ∫ 0 δ 1 - 3 2 y δ - 1 2 y δ 3 d y

δ * = ∫ 0 δ 1 - 3 2 y δ + 1 2 y δ 3 d y

δ * = y - 3 y 2 4 δ + y 4 8 δ 3 0 δ

δ * = δ - 3 δ 2 4 δ + δ 4 8 δ 3

δ * = δ - 3 4 δ + 1 8 δ

δ * = 3 8 δ

Então:

δ * δ = 3 8

δ * δ = 0,375

Passo 4

Para θ :

θ = ∫ 0 ∞ u U 1 - u U d y = ∫ 0 δ u U 1 - u U d y

θ = ∫ 0 δ 3 2 y δ - 1 2 y δ 3 1 - 3 2 y δ - 1 2 y δ 3 d y

θ = ∫ 0 δ 3 2 y δ - 1 2 y δ 3 - 3 2 y δ - 1 2 y δ 3 2 d y

θ = ∫ 0 δ 3 2 y δ - 1 2 y δ 3 - 9 4 y 2 δ 2 - 3 2 y 4 δ 4 + 1 4 y 6 δ 6 d y

θ = ∫ 0 δ 3 2 y δ - 9 4 y 2 δ 2 - 1 2 y 3 δ 3 + 3 2 y 4 δ 4 - 1 4 y 6 δ 6 d y

θ = 3 y 2 4 δ - 3 y 3 4 δ 2 - y 4 8 δ 3 + 3 y 5 10 δ 4 - y 7 28 δ 6 0 δ

θ = 3 δ 2 4 δ - 3 δ 3 4 δ 2 - δ 4 8 δ 3 + 3 δ 5 10 δ 4 - δ 7 28 δ 6 0 δ

θ = 3 4 - 3 4 - 1 8 + 3 10 - 1 28 δ

θ = 39 280 δ

Então:

θ δ = 39 280

θ δ = 0,139

Resposta

δ * δ = 0,375

θ δ = 0,139

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