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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 108

Um campo de escoamento é representado pela função de potencial ψ = x 6 - 15 x 4 y 2 + 15 x 2 y 4 - y 6 . Mostre que esse é um campo de escoamento irrotacional e obtenha a função potencial.

Passo 1

Primeiro, vamos provar que o campo é irrotacional, para isso precisamos fazer o seguinte teste:

∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = 0

Vamos então começar encontrando as componentes da velocidade, através da função potencial dada… Hummm… Como vamos fazer?

Para isso vamos assumir nosso escoamento como Incompressível! Dessa forma são válidas as equações:

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

Beleza? Show!

Passo 2

Agora partiu resolver as equações!

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = ∂ ∂ y ( x 6 - 15 x 4 y 2 + 15 x 2 y 4 - y 6 ) v = - ∂ ∂ x ( x 6 - 15 x 4 y 2 + 15 x 2 y 4 - y 6 )

u ( x , y ) = - 30 x 4 y + 60 x 2 y 3 - 6 y 5 v ( x , y ) = - 6 x 5 + 60 x 3 y 2 - 30 x y 4

Passo 3

Agora que temos as equações da velocidade podemos mostrar se esse campo é irrotacional ou não. Então vamos nessa!

∂ ( - 6 x 5 + 60 x 3 y 2 - 30 x y 4 ) ∂ x - ∂ ( - 30 x 4 y + 60 x 2 y 3 - 6 y 5 ) ∂ y = 0

∂ ( - 5 x 4 + 60 x 3 y 2 - 30 x y 4 ) ∂ x - ∂ ( - 30 x 4 y + 60 x 2 y 3 - 6 y 5 ) ∂ y = 0

- 30 x 4 + 180 x 2 y 2 - 30 y 4 + 30 x 4 - 180 x 2 y 2 + 30 y 4 = 0

- 30 x 4 + 30 x 4 = 0

Show! Demonstramos que ele é um campo irrotacional!

Passo 4

Última parte! Agora só precisamos encontrar função do potencial!

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

φ ( x , y ) = - ∫ u ( x , y ) d x φ ( x , y ) = - ∫ v ( x , y ) d y

φ ( x , y ) = - ∫ ( - 30 x 4 y + 60 x 2 y 3 - 6 y 5 ) d x φ ( x , y ) = - ∫ ( - 6 x 5 + 60 x 3 y 2 - 30 x y 4 ) d y

φ ( x , y ) = 6 x 5 y - 20 x 3 y 3 + 6 x y 5 + f ( y ) φ ( x , y ) = 6 x 5 y - 20 x 3 y 3 + 6 x y 5 + f ( x )

Prontinho!

Resposta

φ ( x , y ) = 6 x 5 y - 20 x 3 y 3 + 6 x y 5

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