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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 7

Considere um escoamento com massa específica e viscosidade constantes. Se o escoamento possui um potencial de velocidades definido pela Equação ( 8.1 ) , mostre que ele satisfaz exatamente as equações de Navier-Stokes completas ( 4.38 ) . Se é assim, por que ao tratar a teoria não viscosa nos afastamos das equações de Navier-Stokes completas?

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora matar essa questão rapidinho!

Temos que comparar a equação 8.1 com a equação 3.38 , vamos lá!

Se V = ∇ ϕ , A equação de Navier-Stokes completa será satisfeita! Logo:

ρ d V d t = - ∇ p + ρ g + μ ∇ 2 V

ρ d d t ∇ ϕ = - ∇ p + ρ g + μ ∇ 2 ∇ ϕ

Passo 2

Agora vamos adicionar os termos da velocidade cinética e a velocidade potencial teremos a seguinte eq.

ρ ∇ ∂ ϕ ∂ t = - ∇ p + μ ∇ ∇ 2 ϕ - ∇ ρ g z - ∇ V 2 2

Organizando:

ρ ∇ ∂ ϕ ∂ t + ∇ V 2 2 = - ∇ p - ∇ ρ g z + μ ∇ ∇ 2 ϕ

Finalmente dividindo tudo por ∇ ρ :

ρ ∇ ∂ ϕ ∂ t + ∇ V 2 2 ∇ ρ = - ∇ p - ∇ ρ g z + μ ∇ ∇ 2 ϕ ∇ ρ

Lembrando que:

∇ 2 ϕ = 0

Nosso resultado fica assim:

∂ ϕ ∂ t + V 2 2 + p ρ + g z = C

Chegamos à equação de Bernoulli que é a solução exata da equação de Navier-Stokes para o escoamento potencial.

Nós não “nos afastamos” das equações completas, só precisamos resolver ∇ 2 ϕ = 0 , para encontrarmos a velocidade potencial quando consideramos a teoria não viscosa.

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

∂ ϕ ∂ t + V 2 2 + p ρ + g z = C

Chegamos à equação de Bernoulli que é a solução exata da equação de Navier-Stokes para o escoamento potencial.

Nós não “nos afastamos” das equações completas, só precisamos resolver ∇ 2 ϕ = 0 , para encontrarmos a velocidade potencial quando consideramos a teoria não viscosa.

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