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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 111

Considere o campo de escoamento representado pela função potencial φ = x 6 - 15 x 4 y 2 + 15 x 2 y 4 - y 6 . Verifique se esse é um escoamento incompressível, e determine a função de corrente correspondente.

Passo 1

Bora dar o start, verificando se esse escoamento é incompressível? Show! Então começamos testando a equação:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Vish! Mas ainda não temos as funções velocidade…

Tá tranquilo! Podemos encontrar elas nos baseando em um escoamento irrotacional, vamos dar uma olhadinha nas equações que definem o escoamento como irrotacional:

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

Como nós temos a função potencial podemos usar as duas equações da parte de baixo! Vai ser tranquilo! Então partiu!

u = - ∂ ∂ x ( x 6 - 15 x 4 y 2 + 15 x 2 y 4 - y 6 ) v = - ∂ ∂ y ( x 6 - 15 x 4 y 2 + 15 x 2 y 4 - y 6 )

u ( x , y ) = - 6 x 5 + 60 x 3 y 2 - 30 x y 4 v ( x , y ) = 30 x 4 y - 60 x 2 y 3 + 6 y 5

Aeee! Agora sim a gente pode ver se ele é incompressível!

Passo 2

Vamos ao teste, se nosso fluido é ou não incompressível!

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

∂ ( - 6 x 5 + 60 x 3 y 2 - 30 x y 4 ) ∂ x + ∂ ( 30 x 4 y - 60 x 2 y 3 + 6 y 5 ) ∂ y = 0

- 30 x 4 + 180 x 2 y 2 - 30 y 4 + 30 x 4 - 180 x 2 y 2 + 30 y 4 = 0

Arrasamos muito! Chegamos a conclusão que: Nosso escoamento é incompressível!

Passo 3

Vamos então à procura da...Função de corrente! Que é quase igual a felicidade…

Como já temos as funções velocidade, podemos colocar naquelas equações que vimos antes:

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

ψ ( x , y ) = ∫ u ( x , y ) d y ψ ( x , y ) = - ∫ v ( x , y ) d x

ψ ( x , y ) = ∫ ( - 6 x 5 + 60 x 3 y 2 - 30 x y 4 ) d y ψ ( x , y ) = - ∫ ( 30 x 4 y - 60 x 2 y 3 + 6 y 5 ) d x

ψ ( x , y ) = - 6 x 5 y + 20 x 3 y 3 - 6 x y 5 + f ( x ) ψ ( x , y ) = - 6 x 5 y + 20 x 3 y 3 - 6 x y 5 + f ( y )

Resposta

Temos um escoamento é incompressível com função de corrente igual a:

ψ ( x , y ) = - 6 x 5 y + 20 x 3 y 3 - 6 x y 5

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